reforef.ru
добавить свой файл
1

12. Теория полезности по Нейману – Моргенштерну

Основные определения и аксиомы. Методология рационального принятия решений в условиях неопределенности, основанная на функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока.

Определение 1. Предположим, что конструируется игра, в которой индивид с вероятностью a получает денежную сумму х и с вероятностью (1 – a) – сумму z. Эту ситуацию будем обозначать G(x, z: a).

Аксиома 1. Аксиома сравнимости (полноты). Для всего множества S неопределенных альтернатив (возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход х предпочтительнее исхода у (х у), либо у х, либо индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х у).

Аксиома 2. Аксиома транзитивности (состоятельности). Если х  у и
у  z, то х  z. Если х  у и у  z, то х  z.

Аксиома 3. Если х  у, то G(x, z: α)  G(y, z: α).


Аксиома 4. Аксиома измеримости. Если х  у  z или х  у  z, то существует единственная вероятность α, такая, что у  G(x, z: α).

Аксиома 5. Аксиома ранжирования. Если альтернативы у и и находятся по предпочтительности между альтернативами х и z и можно построить игры, такие, что индивид безразличен в отношении к выбору между у и G(x, z: α1), a также к выбору между и и G(x, z: α2), то при : у  и.

При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что лицо принимающее решение (ЛПР) при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решений он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Сформулируем определение полезности по Нейману-Моргенштерну.

Определение 2. Полезность – это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана - Моргенштерна для ЛПР показывает полезность, которую он приписывает каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его отношения к риску.

Определение 3. Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.


Проиллюстрируем практическую реализацию введенных понятий на примере расчета ожидаемой денежной оценки (ОДО) и сопоставления этого значения с полезностью.

Для принятия решения в случае небезразличия ЛПР к риску необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая (процедура) заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага.

Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число.

Шaг 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму , находящуюся между лучшим и худшим значениями S и s, либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью р наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1 – р) - наименьшую сумму s. При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно р0. Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.

U() = p0 U(S) + (1 – p0)U(s). (12.1)

Таким образом, если определена шкала измерения, то может быть построена функция полезности ЛПР.



Типы функции полезности Неймана – Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в).