reforef.ru 1
Программа курса «Дополнительные главы математического анализа»


(II курс, ПОМИ-группа, 2009,2010, Д.С.Челкак)

Весенний семестр «Доп. главы теории меры» (30-32ч):


  1. Мера и внешняя мера. Определения. Формулировка парадокса Банаха-Тарского. Внешняя мера, построенная по произвольной системе множеств. Хорошо разбивающие множества. Сужение внешней меры на сигма-алгебру хорошо разбивающих множеств. Критерий Каратеодори борелевской регулярности.




  1. Мера Хаусдорфа. Размерности Хаусдорфа и Минковского. Определение меры Хаусдорфа, борелевская регулярность. Нетривиальность меры Хаусдорфа единичного куба. Нормировочная постоянная. Хаусдорфова размерность. Размерность Минковского – определения в терминах покрытий шарами и эпислон-сетей. Связь со скоростью убывания объема окрестности множества. Размерность и нетривиальность хаусдорфовой меры канторовского множества.




  1. Оценки хаусдорфовой меры и размерности. Неравенство для H^d, если построена такая мера, что оценка через r^d выполнена для всех шаров. Теорема об оценке через верхний предел отношения меры шара к r^d (с леммой о покрытии). Построение меры со скоростью убывания r^d в случае 0



  1. Самоподобные множества. Системы сжатий, предельное множество как неподвижная точка динамики на компактах. Оценка размерности и хаусдорфовой меры сверху при помощи покрытий. Системы гомотетий (отображений подобия). Модельный пример: обобщенное канторовское множество. Биекция с пространством последовательностей. Построение и борелевская регулярность естественной внешней меры. Оценка размерности и хаусдорфовой меры снизу (через неравенство для мер шаров). Общий случай: пересадка внешней меры на самоподобное множество, ее борелевская регулярность как следствие непрерывности отображения. Неравенство для мер шаров как следствие “open set condition”.





  1. Случайное канторовское множество. Пример случайного фрактала: выделение либо средней трети (q), либо двух крайних (p) на каждом шаге с равными вероятностями. Математическое ожидание числа потомков и оценка размерности сверху. Существование асимптотики числа потомков, построение меры, удовлетворяющей условию Фростмана и оценка размерности снизу.