reforef.ru 1
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Целью данной работы является, в том, чтобы показать методику построения графиков основных элементарных функций в 10 – 11 классах.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которые должен прочно овладеть ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий – возрастания и убывания функции, четности и нечетности, понятия экстремума и т.д.. Поэтому формирование графических представлений в старших классах наиболее важный этап.

Построение графиков функции вида

Определение. Преобразование графиков функций – это линейные преобразования функции или ее аргумента к виду , а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции где и , можно построить график функции .

Для преобразования графиков функций запишем алгоритм раскрывающее «динамику» построения графика заданной функции:

Алгоритм преобразования графиков функций:


    1. По формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т.д.). определить, чем является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т.д.). Построить начальный эскиз графика данной функции.

    2. Построить график функции :
  • если , тогда строим симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (Ох), иначе проверяем следующее;


  • если, тогда строим симметричное отражение графика относительно оси ординат (Оу), иначе проверяем следующее;

  • если , выделываем растяжение графика от оси абсцисс (Ох) в а раз;

  • если , то выделываем сжатие графика к оси абсцисс (Ох) в а раз.

После того как проверили и построили график данной функции проверяем следующий шаг.

    1. Построить график функции :

  • если – сжатие графика к оси ординат (Оу) в k раз;

  • если – растяжение графика от оси ординат (Оу) в k раз.

Затем проверяем и строим график по следующему шагу.

    1. Построение графика функции :

  • если – параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ох) на || единиц влево;

  • если – тогда параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ох) на || единиц вправо.

    1. Построить график функции :

  • если , то делаем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (Оу) на |m| единиц вверх;
  • если , то делаем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (Оу) на |m| единиц вниз.


После проверки и построение графика данной функции проверяем следующий шаг.

Суть алгоритма заключается в том, чтобы на первом шаге обязательно придется указывать все необходимые данные и выкладки, а затем построить график частного случая. Далее постепенно делаем преобразование данного графика, исследуя по алгоритму, прийти к конечному графику функции.

Пример: Построить график функции

Рис. 1

Сначала построим график функции (I), а затем с деформацией графика этой функции, т.е. «растяжением» графика вдоль оси ординат в 2 раза, получаем график функции (II) и «сжав» график функции (I) вдоль оси абсцисс вдвое, получаем график функции (III). После этого остается только произвести

сдвиги графика функции (III) на вдоль оси абсцисс вправо и вдоль оси ординат на |1| единиц вверх. Тогда получится графики функции (IV) и (V) – искомый график функции. Построение выполнено на рис. 1.
Построение графиков функции

Для преобразования графиков функций, содержащих модуль, запишем алгоритм раскрывающее «динамику» построения графика заданной функции:

Алгоритм преобразования графиков функций, содержащих модуль:


  1. По формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т.д.). Определить, чем является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т.д.). Построить начальный эскиз графика данной функции.

  2. Построить график функции

  • если , тогда график функции остается без изменений;

  • если есть участки , тогда эти участки построить симметричным отображением относительно оси абсцисс (Ох).

После того как проверили и построили график данной функции проверяем следующий шаг.

  1. Построить график функции

  • если , то график остается без изменений;

  • если , то график симметрично отражается относительно оси ординат.

Суть алгоритма такая же как в алгоритме преобразования графиков функций вида . Надо учитывать, что при построения графиков функций, содержащий модуль, непременно будет использоваться и предыдущий алгоритм.

Пример: Построить график функции .



Рис. 2

Строим график функции , затем строим график функции (II) (сдвиг вправо на единицу) и рисуем те участки графика функции (II), которые симметричным отображением относительно оси абсцисс, получим график функции (III). Далее, строим изображение, симметричное построенному графику относительно оси ординат. Тогда


график функции состоит из двух ветвей. Заметим, что график этой функции не проходит в интервале [-1; 1], т.е. интервал не входит в область определения функции.

Далее замечаем, что при возрастании х от 0 до 1 убывает от 1 до 0, а при возрастании х от 1 до 2 возрастает от 0 до 1, а потому график функции (IV) определена (проходит) в интервале (-1; 1). И график функции на этих интервалах проходит симметрично относительно прямой , а на интервале (-1; 0) график строится симметрично относительно ординат. Построение выполнено на рис. 2.

Дополнительно рассмотрим примеры построения графиков функций: простых гармонических колебаний,

Что надо знать для построения простых гармонических колебаний, т.е. графика функции :

      1. Надо знать величину амплитуды А, чтобы определить «высоту» графика;

      2. Чтобы определить насколько сдвинута заданная синусоида относительно графика , нужно знать величину (- начальная фаза).

      3. Величину (угловая скорость вращения), по которой находится (Т – период функции). Для построения удобнее искать сразу четверть периода ;
      4. Точка на оси t(x) с координатой λ соответствует положению точки М в правом конце горизонтального диаметра. Отсюда и метод построения: из формулы колебания определяем А и проводим две прямые (между ними будет заключен весь график). Определяем и отмечаем на оси абсцисс точку t=λ (с этой точки начинается положительный полупериод синусоиды). Определяем и откладываем от точки t=λ на оси абсцисс четыре таких отрезка, после чего построение графика очевидно.


Рис. 3.

Пример: Построить график функции простых гармонических колебаний, если

Здесь А=2, ω=2, φ0=-3 и поэтому , , а . Построение выполнено на (рис. 3) интервале, длина которого равна одному периоду (далее, в обе стороны, график периодически повторяется).

Пример: Построить график функции вида , если



Рис. 4

Строим график функции , и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.4).

При построении следует обратить на два обстоятельства:

  1. , а потому имеет смысл провести через прямые и , параллельные прямой , между этими двумя прямыми и будет располагаться график функции
  2. В тех точках, где у2=0 (т.е. при, где kZ), y=y1, а это означает, что соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у1=х, а значит соответствующие точки графика лежат на прямых и


Пример: Построить график функции вида , если



Рис. 5

Строим график функции . График заданной функции получим умножением соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.5).

Построение производим при , а затем отражаем полученный график относительно оси ординат, так как является четной функцией. При этом учитываем, что в точках с координатами у2=0 произведение у=у1у2=0. Наибольшее значение функции равно 1, при . В этих точках , и соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у=х . Наименьшее значение функции равно -1, при . В этих точках , и соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой . Очевидно, что график колеблется между прямыми и .

Пример: Построить график функции вида , если




Рис. 6

Строим график функции . График заданной функции получим делением соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.6). При этом следует учесть, что это деление возможно для всех х, кроме х=0. В точке у2=0 (у1≠0) заданная функция терпит бесконечный разрыв (ось ордината является вертикальной асимптотой).

Заметим, что при х=1, у1=0, у2=1, а потому . При , значит у=1 является уравнением горизонтальной асимптоты для правой ветви графика. При , и уравнения у=-1 является уравнением горизонтальной асимптоты для левой ветви графика.

Пример: Построить график функции вида , если



Рисунок 7.

Строим график функции . Затем замечаем, что при она не существует. Поэтому заштриховываем полуплоскость Логарифмическая функция при основании больше 1, является монотонно возрастающей, а поэтому будет монотонно возрастающей и заданная функция


  • при х=2 у1=1, у=0 (точка А);

  • при ч=4 у1=2, у=1 (точка В).

Тогда график функции будет выглядеть, как показано на рисунке.
Список использованной литературы:


  1. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидак. материалы: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1986. – 352 с.

  2. В. К. Егерев и др. Методика построения графиков функций. Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 2-е. М., «Высшая школа», 1970. – 152 с.

  3. Баврин И. И. Высшая математика: Учеб. для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1993. – 319 с.

  4. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

  5. Алгебра и математический анализ: Учеб. пособие для 10 кл. с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин и др. – 4-е изд.: М.: Просвещение , 1995. – 335 с.