reforef.ru 1

Проверка статистических гипотез

Постановка проблемы


При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (свойство H0 либо свойство H1) в большей степени согласуется с результатами наблюдения за объектом?

Изначально исследователь должен определиться, какая из альтернатив (гипотез) для него основная и какая фоновая. Далее предполагаем, что основная гипотеза H
0.

При любом выборе менеджер, прежде всего, должен оценить последствия принимаемого решения, минимизировать риски, учитывать вероятности возможных ошибок:

P
(отклонить H0|верна H0) = α, уровень значимости ошибки 1-го рода;

P
(принять H0|верна H1) = β, уровень значимости ошибки 2-го рода.

Выбор предпочтительной альтернативы можно реализовать, если существует критерий T
принимающий числовые значения (T|H0) и (T|H1) при реализации каждой гипотезы и критическая область Kα значений критерия (T|H0), при которых H0 отклоняется на фоне альтернативной гипотезы H1.

Иллюстративный пример

При планировании телевизионной рекламы нового продукта требуется определиться, какой из подготовленных для трансляции роликов (А0 либо А1) следует выбрать.

Свойство H0: отбираем для рекламы ролик А0.

Свойство H1: отбираем для рекламы ролик А1.

В качестве критерия применяется комплексная экспертная оценка Х, выставляемая зрителем ролику по методике учитывающей эмоциональное воздействие ролика и ассоциирование с рекламируемым продуктом.


Специалисты рекомендуют использовать некоторое пороговое значение Тα: оценки ниже этого порога характеризуют ролик как неэффективный.

Моделирование
Подбор модельной случайной величины X, для которой альтернативные свойства H0 и H1 можно рассматривать как свойства условных случайных величин: (X|H0) и (X|H1). Предполагается, что можно организовать для каждой гипотезы наблюдения за реализациями случайной выборки (Xn) - независимых одинаково распределенных случайных величин.

В качестве критерия Т для решения проблемы проверки альтернативных гипотез подбирается соответствующая функция от X: Т = f(X).

Типовые задачи проверки статистических гипотез
H0 - основная гипотеза; H1- конкурирующая гипотеза.

По результатам выборки (Xn) независимых одинаково распределенных наблюдений при заданном допустимом уровне ошибки (уровне значимости α) отклонения основной гипотезы требуется определить критическую область Кα, область отклонения H0:
Р(К|H0)= α.(Из возможных альтернатив для Кα желательно добиться максимума Р(К|H1))

Типовая задача 1 (Анализ среднего значения). H0: M[X] = m0.

a) H1: M[X] = m1 m0 - двухсторонняя альтернатива;


б) H1: M[X] = m1 > m0 и в) H1: M[X] = m1 < m0 односторонние альтернативы.

Несмещенная оценка для M[X]: выборочная средняя T1(xn) = к .

Критерий: Случайная величина T1(Xn) ≈ N( T1(Xn); ).

Стандартизованный критерий: T1ст(Xn) = .

Типовая задача 1.а. Дисперсия известна: D[X] = (σx)2 , Tст(Xn) = N(0;1).

Типовая задача 1б. Дисперсия оценивается несмещенной исправленной выборочной дисперсией S2(Xn) = Sn-12(Xn) = . Sn-12(Xn) (σx)2 (χn-12/(n-1)).


Тогда стандартизованный критерий: Tст(Xn) = n-1 ,

n-1 случайная величина Стьюдента с (n -1) степенью свободы.

Задача 1. По результатам выборки (X10) десяти независимых одинаково распределенных наблюдений случайной величины X с известной дисперсией
D[X] = (σx)2 = 4 следует проверить гипотезу о том, что среднее значение X равно 5
с допустимым уровнем значимости ошибки 2.5%. (Среднее значение наблюдений получилось равным 7.)

Решение. 1. H0: M[X] = 5.
2.
Принимая во внимание результаты наблюдений (выборочная средняя T1(xn) = 7),
будем рассматривать правостороннюю альтернативную гипотезу: H1: M[X] = m1 > 5 .

3. Стандартизованный критерий Tст(Xn) имеет стандартное нормальное распределение N(0;1). При уровне значимости ошибки α = 0.025 (H0: M[X] = 5), критическая область отклонения H0 представляется интервалом Кα = (1.96; (По таблице: Ф0(1.96) = 0.475.)


4. По результатам наблюдения критерий принимает значение, попадающее в критическую область: [T1ст(Xn)]набл = = = 3.16 .
Ответ: Следовательно, отклоняется основная гипотеза о равенстве 5 среднего значения наблюдений (α = 0.025) в пользу альтернативы: среднее значение больше пяти.
Задача 2.

Специалист утверждает, что может диагностировать улучшенное качества продукта по внешнему виду выпускаемого продукта без дополнительных замеров.

Было проведено 15 экспериментов. Специалист правильно обнаружил улучшение качества продукта в 9 случаях; ошибочные ответы были в 2 случаях; никакого вывода сделать не удалось в 4 случаях.

Можно ли по результатам эксперимента с уровнем значимости в 7% считать, что специалист действительно может диагностировать улучшение качества продукта по внешнему виду?

Решение.

Модель: Последовательность n = 15 независимых наблюдений Бернулли: успех – правильный ответ, все остальные исходы – ошибочный ответ.

Результат наблюдений: 15 независимых наблюдений (xn) сл.в. Бернулли X B(p).

Базовая гипотеза H0: p = p0 = 0.5: результаты всегда случайны.

Альтернатива: H1 : p1 > 0.5.

Критерий проверки базовой гипотезы будем строить по наблюдениям за суммарным количеством верных ответов S .

Эта случайная величина S имеет Биномиальное распределение SB(N;p), N=15.
С некоторыми допусками (при p0 = 0.5 случайная величина имеет симметричное распределение) S можно приблизить нормально распределенной случайной величиной.

Критерий проверки базовой гипотезы H0: p0 = 0.5, стандартизованная случайная величина
T = T1ст(Xn) = (SM[S])/ = (SNp)/ = z0 ,
имеющая приближенно стандартное нормальное распределение N(0;1).

Тогда критическая область Кα отклонения гипотезы H0 с уровнем значимости ошибки

α = 0.07 будет: Кα = {T: |T| > z0; 0.93 = 1.475} .

Наблюдаемое значение критерия Tнабл = (9-15·0.5)/ = 0.773 < z0; 0.93 = 1.475 не попадает в критическую область Кα.

Ответ:

Базовая гипотеза H0 : p0 = 0.5 не отклоняется = 0.07) на фоне альтернативной гипотезы H1 : p1 > 0.5 .
По результатам эксперимента с допустимым уровнем значимости ошибки первого рода α = 0.07 специалист не может диагностировать улучшение качества продукта по внешнему виду.

Типовая задача 2. (Анализ дисперсии) H0: D[X] = σ2 = σ20.

а) H1: D[X] = σ12 σ20 - двухсторонняя альтернатива;

б) H1: D[X] = σ12 > σ20 и в) H1: D[X] = σ12 < σ20 - односторонние альтернативы.


Оценка для D[X]: выборочная дисперсия T2(Xn) = S2 = k T1(Xn))2.

Типовая задача 2. а. Математическое ожидание М[X] = m известно, тогда

несмещенная выборочная дисперсия для D[X]: S2(Xn) = (Sn)2(Xn)= k m)2.

Критерий проверки гипотезы H0: D[X] = σ20

случайная величина S2(Xn) = (Sn)2(Xn) σ20 χ 2n / n

Стандартизованный критерий: (S2)ст = (Sn)2(Xn)/[ σ20/n] χ 2n - случайная
величина хи-квадрат с n степенями свободы.

Типовая задача 2.б. Математическое ожидание М[X] = m неизвестно, тогда несмещенная исправленная выборочная дисперсия для D[X] будет (Sn-1)2:


D[X] (Sn-1)2(Xn)= k T1(Xn))2.

Основная гипотеза H0: D[X] = (σ0)2.

Критерий проверки основной гипотезы: случайная величина
S2(Xn) = (Sn-1)2(Xn) σ2χ 2n-1 / (n-1).

Стандартизованный критерий: (S2)ст = (Sn-1)2(Xn)/[ σ2/(n-1)] χ 2n-1 - случайная величина хи-квадрат с (n-1)-й степенью свободы.

Типовая задача 3. (Анализ однородности парных наблюдений).


По результатам наблюдения двух выборок (Xn) иn) независимых в совокупности 2n случайных величин. Случайные величины каждой выборки имеют одинаковое распределение. M[Xk] = mx; D[Xk] = (σx)2; M[Yk] = my; D[Yk] = (σy)2.

Типовая задача 3.a. H0: mx = my. Известны значения σx и σy.

Модель: Рассмотрим совокупность (Dn): Dk = (Xk - Yk):

M[Dk] = md = mx - my; D[Dk] = (σx)2 + (σy)2 = (σd)2.

Для этой совокупности задача сводится к базовой гипотезе: H0: md = 0.

Несмещенная оценка для M[D]: выборочная средняя Т1(Dn) = к .


Критерий: Случайная величина T1(Dn) N(T1(dn); ).

Стандартизованный критерий при H0: T1ст(Xn) = T1(Dn)/( σd/) N(0;1).
Типовая задача 4***. (Проверка независимости парных наблюдений).

Модель. По результатам наблюдения выборки (X; У)n проверить их соответствие
базовой гипотезе H0: ρ(X, У) = 0 .

Стандартизованный критерий проверки H0: несмещенная оценка ρ(X, У) коэффициента корреляции Пирсона:

ρ = ρП ((X; У)n) =(k – T(Xn)(Yk– T(Yn)]/x2)Y2)] ≈ N(ρ; (1-ρ2)2/n) при n >> 1. В формуле, ρ равно значению ρП ((х; у)n).

Типовая задача 5***. (Таблица сопряженных признаков).

Результаты наблюдения за двумя признаками А и В, принимающими альтернативные значения (А1 и А2) и (В1 и В2) при проведении каждого из n независимых испытаний сведены в таблице количества соответствующих исходов.




А1

А2




В1

n11

n12

n1*

В2

n21

n22

n2*




n*1

n*2

n

n*1 = n11 + n21; n*2 = n12 + n22; n1* = n11 + n12; n2*= n21 + n22; n = n*1 + n*2 = n1* + n2*


Модель. Каждый из признаков А и В можно рассматривать как случайную величину Бернулли.

Стандартизованный критерий проверки H0:

К = n·(n11 · n22 - n12· n21)/χ 21