reforef.ru 1
Николай Золотухин

«Сумма к-мерных граней n-мерного куба (к=0,1,...,n
Вначале введём некоторые понятия:

вместо слова «точка» мы будем говорить «0-мерный куб», вместо слова «отрезок» - «1-мерный куб», вместо слова «квадрат» - «двумерный куб» и т д., а рассматривать мы будем произвольный n-мерный куб.

Далее, вершину n-мерного куба будем называть 0-мерной гранью, ребро n-мерного куба - одномерной гранью и т. д. Сам n-мерный куб будет называться n-мерной гранью.

Таким образом, у отрезка, или, что то же самое, одномерного куба две нульмерные грани и одна одномерная грань, у обычного трехмерного куба 8 нульмерных граней (вершин), 12 одномерных граней (ребер), 6 двумерных граней и 1 трехмерная грань - он сам.

Поставим задачу: дан n-мерный куб. Определим количество k-мерных граней у этого куба, где k изменяется от 0 до n и найдём их сумму. Будет получен интересный результат.

Всякая вершина n-мерного куба имеет свои координаты (a1, a2, a3 ... an), где a1, a2, a3, ... an это 0 или 1. 0 и 1 мы взяли для удобства, также можно взять любые два других числа.

Задачу мы будем решать по индукции:
1. K 0-мерный куб, который имеет одну 0-мерную грань.
2. а б

(0) (1)

1-мерный куб имеет две 0-мерные грани и одну 1-мерную грань.

3. 2-мерный куб имеет четыре 0-мерные грани, четыре 1-мерных, одну 2-мерную. Причём, если точки лежат на 1-мерной грани, у них совпадает 1 координата.

(0;1) (1;1)
(0;0) (1;0)
4. 3-мерный куб имеет восемь 0-мерных, двенадцать 1-мерных, шесть 2-мерных граней и одну 3-мерную грань (он сам). Если две точки лежат на одном ребре, у них совпадают 2 координаты, а если они лежат на 2-мерной грани, у них совпадает 1 координата.
Таким образом, в n-мерном кубе точки лежат на k-мерной грани, если у них совпадает k координат из n.

Первый пункт, который нам надо выяснить: сколько 0-мерных граней у n-мерного куба.


Любая вершина имеет свои координаты - a1,a2,a3,a4,...,an. На каждое место можно подставить 0 или 1 (всего 2 случая на место), поскольку координат n, то случаев 2n.

Рассмотрим количество 1-мерных граней у n-мерного куба (n-1 общая координата).

A(a1,a2,a3,...,an)

B(a1,a2,a3,...,bn)

В подчеркнутом столбце находятся несовпадающие координаты, но он может быть не только последним (n-ым), но и (n-1), (n-2),...,1(всего n случаев).

Рёбер -

У 2-мерной грани n-2 общие координаты. Сколькими способами можно выбрать 2 несовпадающие координаты? - случаями. Мы получаем формулу: .

У 3-мерной грани n-3 общие координаты. Формула - .

Мы пришли к формуле, по которой можно рассчитать количество k-мерных граней у n-мерного куба: . Следуя этой формуле, мы составим таблицу, где запишем количество 0,1,2,3,4,5,6,7,8-мерных граней у 0,1,2,3,4,5,6,7,8-мерных кубов.


N\K

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Сумма

0

1

x

x

x

x


x

x

x

x

1 =30

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

3 =31

2

4

4

1

x

x

x

x

x

x

9 =32

3

8

12

6

1

x

x

x

x

x

27 =33

4

16

32

24

8

1

x

x

x

x

81 =34

5

32

80

80

40

10

1


x

x

x

243 =35

6

64

192

240

160

60

12

1

x

x

729 =36

7

128

448

672

560

280

84

14

1

x

2187 =37

8

256

1024

1792

1792

1120

448

112

16

1

6561 =38


Главный вывод: сумма k-мерных граней n-мерного куба равна 3n