reforef.ru 1
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СОФИЗМДЕР


Сайлаубек А.С.

7А, Ю.А.Гагарин атындағы мектеп-лицейі, Ағадыр поселкесі

жетекші Кемелбекова Б.Р.
Софизм – шыңдығын ойлап табуға болатын, әдейі ойластырылған жалған ой қорытындысы.

Математикалық софизмнің дидактикалық мағынасы мынада: оқушылар оларды шешу процесінде қандай да бір белгісіз әдістерді ойлап табуы керек, мәселен теоремаларды , ережелерді дұрыс қолданбау н/е сызбаларды дұрыс пайдалану т.б. Ал бұл оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамытады, материалды сапалы түрде түсінуге көмектеседі, пәнге деген ынтасын арттырады. Софизмдерге мысал клтірейік.

7= 11 болатынын дәлелдейік.

Ол үшін 35+14-49=55+22-77 теңдігін қарастырамыз. Бұл теңдіктің оң жағында ж/е сол жағында ортақ көбейткішті жақшы сыртына шығарамыз,сонда:

7(5+2-7)=11(5+2-7).

Екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішіне бөлсек:7=11 теңдігін аламыз, дәлелдеу керегі осы болатын. (Қатесі:5+2-7 нөлге тең, ал санды нөлге бөлуге болмайды).

2.2*3=101 теңдігін дәлелдеу керек.

Мынадай теңдікті қарастырайық.:6:6=101:101

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарсақ:

6(1:1)=101(1:1)

Жақша ішінде тең шамалар қалды, сондықтан 6=101немесе 2*3 101 дәлелденеді. (сандарды бөлу кезінде ортақ көбейткішті жақша сыртына шығаруға болмайды, қате осы жер).

3. 5 4 теңдігін дәлелдеу керек.

Ол үшін 25 – 45 16 – 36 теңдігін алып, оның екі жағына да 20 ді қосайық: 25-45+20  16-36+20 . Қысқаша көбейту формуласын қолдансақ(5-  )2(4- )2 болады. Екі жағынан түбір тапсақ . 5 -  =4-  , бұдан 5 4, дәлелденеді.,(Қатесі: санның квдрат түбірін табуда).


4. Кез келген а және ь сандары өзара тең екенін дәлелдеу керек.

Ол үшін аь және =с десек , а +в=2с, сонда а=2с-ь бұдан 2с – с = ь . бұлардың екі жағын мүшелеп көбейтсек ,2ас-а2= 2ьс –ь 2немесе а2– 2ас= 2ь-2ьс. Екі жағына да с2-ты қоссақ. а2-2ас+с2= ь2-2ьс+с2,бұдан (а-с)2=(ь-с)2 болады. Екі жағынан квадрат түбір тапсақ, немесе а=ь . (Қате алдыңғы есептегі сияқты).

5. Кез келген сан өзінің жартысына тең екенін дәлелдейік. аь болсын, мұның екі жағын да а-ға көбейтейік: а2аь, енді екі жағынан да ь2-ты шегерсек , а22аь-ь2, бұдан (а-ь)(а+ь)ь(а+ь). Бұдан а+ьь. берілгені бойынша аь болғандықтан, ь-ның орнына қойсақ, 2аа, онда аа. дәлелдеу керегі осы болатын.

6. Өзара тең емес екі санның біреуі әруақытта екіншісінен үлкен екнін дәлелдейік.


Кез келген аь екі санын алсақ , бұдан(а-ь)2 0, а2-2аь+ь20, онда а222аь. Теңсіздіктің екі жағына да (-2ь)2-ты қоссақ, а22-2ь22аь-2ь2, а222аь-аь2, (а-ь)*(а+ь)2ь(а-ь), бұл теңсіздіктің екі жағына да а-ь0-ге бөлеміз,сонда а+ь2ь немесе аь дәлелденді.(Теңсіздіктің екі бөлігін де а-ь-ге бөлу үшін айырманың таңбасын білу керек. Егер а-ь<0 болса, онда бұған бөлгенде теңсіздіктің таңбасы кері өзгереді).

7. Кез келген санның нөлге тең болатыны дәлелдеу керек. а) кез келген а санын алып, оның жартысын ь деп белгілейік, сонда 2ьа болады. Мұның екі жағын да а-ға көбейтейік: 2аьа2 немесе а2 – 2аь0. Екі жағына да ь2- ты қосайық: а2 – 2аь+ь2ь2 немесе ( а-ь)2ь2.


Мұны былай да жазуға болады: (ь-а)2ь2, бұдан ь-аьа0, дәлелденді.

б) Мына қосындыны қарастырайық:

а-а+а-а+а-а+а - ...

Бұларды мына түрде жазуға болады:

(а – а)+(а – а)+...0

Немесе

а – (а – а) – (а – а) – (а – а) - ...а(2)

(1)мен (2) теңдіктерінің сол жақтарында бірдей қосынды болғандықтан, оң жақтары да тең болуы керек: а0,дәлелденді. ( Қатесі: мұндай қосынды болмайды).

8. Нөл кез келген саннан артық болатынын дәлелдеу керек.

а)Егер а – теріс сан болса, берілген шарт әр уақытта орындалады.

б)а мүмкіндігінше үлкен оң сан болсын, онда а - 1а.

Теңсіздіктің екі жағын мүшелеп( - а)-ға көбейтсек, -а22. Екі жағына да а2-ты қоссақ:-а2+а+а2 - а22, бұдан а0, дәлелдеу керегі осы болатын.

( Теңсіздіктің екі жағын да теріс санға көбейткенде теңсіздіктің таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгеруі керек)
Қолданылған әдебиеттер

  1. Н.Н. Забежанская « Математикалық мозайка» 1997 жыл