reforef.ru 1
Лекция 9 . Производная функции 2.


П.1 Производная обратной функции.

ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную . Тогда обратная функция имеет производную в точке и

.

ДОК.

=.

П.2 Производная сложной функции.

ТЕОРЕМА 2. (производная сложной функции)

Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и


.

ДОК.

,

где и - б.м.ф. Тогда



и , где б.м.ф. в точке .

Тогда .

П.3 Таблица производных элементарных функций.

(1) (2) . (3)

(4) (5) .

6) (7)

(8) (9)


(10) (11) (12)

(13)

ДОК.

(10)

(11) .

(12) (13)

(1)

(2) =.

(3) .

(4) .

(6) .

(7)


(8)

(9) (5) – самостоятельно.

П.4 Дифференциал функции.

ОПР. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде:

, где - б.м.ф. в точке .

ОПР. Главная линейная часть приращения , величина , называется дифференциалом функции в точке .

ТЕОРЕМА 3.

Существование производной функции в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости.

ДОК. (1) Пусть функция дифференцируема. Тогда и .

(2) Если функция имеет производную , тогда по теореме о связи , где - б.м.ф., т.е. , при.


СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции имеет вид .

Функция имеет производную, равную 1, поэтому . Тогда

.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , имеет вид:

.

Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на равно , т.е. значению дифференциала .

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.

Если - функция независимой переменной y , то ее дифференциал имеет форму . Если - сложная функция и , то

,

т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.


П.5 Арифметические операции с дифференциалами.

(1)

(2) .

(3)

П .6 Производная и дифференциал функций, заданных параметрически.

Функцию можно задавать с помощью двух отображений и композицией . Такую функцию записывают в форме , . Существование может обеспечить, например, строгая монотонность функции .

ПРИМЕР 1. Функция на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически: , . Тогда

.

ТЕОРЕМА 4.(о дифференцируемости функции заданной параметрически)

Пусть функция задана параметрически , , причем - дифференцируемые на отрезке функции и .Тогда в каждой точке x , соответствующей значению t , т.е. , существует производная , равная и дифференциал


.

ДОК. (1) .

(2) .

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Постройте для функции , определенной на , обратную функцию и найдите ее производную.

2) Неявную функцию, заданную уравнением , записать в параметрической форме и найти ее производную в точке .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Теорема о производной обратной функции.

2) Теорема о производной сложной функции.

3) Таблица производных элементарных функций.

(с доказательством)

4) Дифференцируемость функции, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.

5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.

6) Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.