reforef.ru 1

Глава 1. Матрицы....................................................................................................11


$1.Понятие матрицы.................................................................................................11

Компактная форма записи матрицы. Матрицы специального вида.

$2.Операции над матрицами....................................................................................14

Линейные операции. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

$3.Элементарные преобразования матрицы..............................................................18

Приведение к ступенчатому виду. Матрицы элементарных преобразований

$4.Определители.......................................................................................................21

Перестановки. Построение определителя n-ого порядка. Простейшие свойства

определителя. Миноры и их алгебралические дополния. Теорема Лапласа. Разложение

определителя по строке(столбцу). Определитель квазитреугольной матрицы.

Вичисление определителя

$5.Обратная матрица.................................................................................................32

Условие обратимости. Вычисление обратной матрицы

Глава 2. Теоретико-множественные понятия................................................................36

$6.Множества.............................................................................................................36

$7.Эквивалентность.....................................................................................................37

$8.Отображения..........................................................................................................40
Произведение отображений. Обратное отображение

$9.Алгебралические законы.........................................................................................43
Внутренний закон композиции. Внешний закон композиции

Глава 3. Геометрические векторы.................................................................................47


$10.Направленные отрезки...........................................................................................48

$11.Свободный вектор..................................................................................................50

Определение и терминология. Линейные операции над векторами

$12.Векторы на прямой, на плоскости и в пространстве.................................................54

Глава 4.Введение в теорию линейных пространств........................................................56

$13.Вещественное линейное пространство....................................................................56
$14.Линейная зависемость............................................................................................59

$15.Геометрический смысл линейной зависемости.........................................................62
$16.Ранг матрицы..........................................................................................................65
Ранг матрицы и линейная зависемость. Ранг матрицы и элементарные преобразования.

Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы.

$17.Базис и размерность...............................................................................................69
Определения. Координаты вектора. Переход к другому базису

$18.Линейное подпространство и линейное многообразие..............................................73

Глава 5. Векторная алгебра...........................................................................................76
$19.Координаты вектора................................................................................................76
$20.Координаты точки....................................................................................................77

Аффинная система координат. Прямоугольные координаты

$21.Проекция вектора и координаты...............................................................................79


Проэкция вектора на плоскости. Проэкция вектора в пространстве

$22.Скалярное произведение.........................................................................................81

Основные факты. Скалярное произведение в координатах

$23.Векторное и смешанное произведение....................................................................83

Ориентация в вещественном пространстве. Основные факты. Векторное и смешанное

произведения в прямоугольных координатах

$24.Преобразование координат......................................................................................88

Преобразование аффинной системы координат. Ортогональная матрица.

Преобразование прямоугольной декартовой системы координат

$25.Полярные координаты..............................................................................................91

Глава 6. Системы линейных алгебралических уравнений................................................94

$26.Постановка задачи...................................................................................................94

Терминология. Компактная запись системы. Эквивалентность систем.

$27.Системы с квадратной невырожденной матрицей......................................................95

$28.Системы общего вида..............................................................................................96

Совместность системы. Схема исследования совместной системы.

Общее решение системы. Однородные системы.

$29.Метод Гауса исследования и решения системы........................................................99

Системы с трапецеевидной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений.

Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей

$30.Геометрические свойства решений системы............................................................102


Линейное подпространство решений однородной системы. Общее решение однородной

системы. Линейное многообразие решений неоднородной системы. Общее решение

ноеднородной системы

Глава 7. Алгебраличскме линии и поверхности первого порядка.....................................106

$31.Понятие об уравнениях линии и поверхности............................................................106

$32.Уравнение прямой на плоскости, плоскости в пространстве......................................107

$33.Взаимное расположение прямых на плоскости.........................................................113

$34.Полуплоскости и полупространства..........................................................................116

$35.Прямая на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат.....................118

Расстояние от точки до прямой(до плоскости). Угол между прямыми(между плоскостями)

$36.Прямая в пространстве............................................................................................119

Уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное

расположение прямой и плоскости. Прямая в пространстве в прямоугольной декартовой

системе координат

Глава 8. Элементы обще алгебры...................................................................................125

$37.Группа.....................................................................................................................125

$38.Подгруппа................................................................................................................127

Определение. Произведение подмножеств группы. Смежные классы

$39.Конечная группа.......................................................................................................129

$40.Нормальный делитель...............................................................................................130


$41.Морфизм групп.........................................................................................................132

$42.Кольцо......................................................................................................................133

Основные свойства. Делители нуля. Кольцо вычетов

$43.Поле..........................................................................................................................135
Основные свойства. Характеристика поля. Поле вычетов

Глава 9. Комплексные числа.............................................................................................138

$44.Поле комплексных чисел............................................................................................138
Понятие комплексного числа. Алгебралическая форма комплексного числа.

Комплексная плоскость. Сопряжённая матрица

$45.Тригонометрическая форма комплесного числа...........................................................141
$46.Возведение в степень и извлечение корня..................................................................143
Глава 10.Многочлены над произвольным полем................................................................146
$47.Кольцо многочленов...................................................................................................146
$48.Деление многочленов.................................................................................................149

$49.Корни многочленов.....................................................................................................151
$50.Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел.........................155
$51.Многочлены над полем вещественных чисел..............................................................158

Глава 11.Алгебралические линии второго порядка на плоскости.........................................160


$52.Эллипс........................................................................................................................160
$53.Гипербола...................................................................................................................164
$54.Парабола....................................................................................................................167
$55.Касателные к эллипсу, гиперболе и параболе..............................................................169

$56.Оптические свойства эллипса, гипербола и параболы.................................................170

$57.Полярные уравнения эллипса,гиперболы и параболы..................................................172

$58.Общее уравнение линий линий второго порядка..........................................................173

$59.Классификация линий второго порядка на плоскости...................................................180