reforef.ru 1

Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.

Занятие 2


Последняя цифра

Когда два числа складываются в столбик, последняя цифра суммы зависит только от последних слагаемых, а остальные их цифры на нее никак не влияют. Точно так же при вычитании и умножении последняя цифра результата зависит только от последних цифр данных чисел.

Поэтому при нахождении последних цифр сложного числового выражения, составленного из сумм и произведений, многозначные числа можно заменять их последними цифрами. Например, найдем последнюю цифру суммы:

636742 + 65737848 + 262591679

Для этого сначала найдем последние цифры слагаемых. Получим 2, 4, 8. Сумма 2 + 4 + 8 = 14 оканчивается цифрой 4, значит, последняя цифра данной суммы также 4.

Если в выражении содержится разность, то так просто решение может не получится. Например, действуя таким же образом, мы получили бы, что последняя цифра выражения 5871741 + 84034118 - 65311161673 есть 1 + 4 – 9 , что невозможно. Но наше рассуждение можно поправить: последняя цифра первого слагаемого та же самая, что у числа 11, и поэтому последняя цифра у заданного «большого числа» та же самая, что и у 11 + 4 – 9, то есть 6.

Немного сложнее обстоит дело с делением. Так, 24 : 8 = 3, 64 : 8 = 8.

В обоих случаях делитель и делимое оканчиваются на 4 и на 8, а частное в одном случае оканчивается на 3, в другом – на 8. Однако и в этом более сложном случае некоторые выводы о последней цифре можно делать.

Например, если делимое оканчивается на 4, а делитель – на 3, то частное обязательно оканчивается цифрой 8; при умножении последней цифры частного на последнюю цифру делимого 3 должно получиться 4, а таким свойством обладает только цифра 8. А если делимое оканчивается на 4, а делитель – на 6, то последняя цифра частного или 4, или 9 – и никакая другая.

Упражнения:
  1. Найти последние цифры чисел:


А) 151 + 152 + 153 + 154 + 155 + 156 + 157 + 158 + 159

Б) 151  152  153  154  155  156  157  158  159

В) 11  12  13  … 29

Г) 12  123 + 13  134 + 14  145 + 15  156 + 16  167 + 17 178

Д) 154  628 + 814  318 + 774  458 + 314  398 + 654  218

Е) 12  123 - 13  134 + 14  145 - 15  156 + 16  167

Ж) 154  628 - 814  318 + 774  458 - 314  398 + 654  218

З) 1999  1999  1999  1999  1999  1999  1999

  1. Какой цифрой оканчивается:

А) сумма всех однозначных чисел

Б) сумма всех двузначных чисел

В) сумма всех трехзначных чисел

Г) сумма всех стозначных чисел

  1. Какой цифрой оканчивается:

А) произведение всех однозначных чисел, не равных нулю

Б) произведение всех трехзначных чисел

В) произведение всех стозначных чисел

  1. Найти первую, не равную 0 цифру справа в произведении:

А) первых семи натуральных чисел

Б) первых десяти натуральных чисел

В) первых шестнадцати натуральных чисел

Г) первых двадцати натуральных чисел