reforef.ru 1



§3. Дифференциал функции двух переменных


Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные fx(х0,у0) и fу(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+x,y0+у), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

f(х0,у0) = f(x0+x,y0+y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

f(х0,у0) = fx(х0,у0)x + fу(х0,у0)у + (x;у) x + (x;у)у, (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

df(x0,y0) = fx(х0,у0)x + fу(х0,у0)у. (2)


Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно x  и у . Таким образом

df = fx + fу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,


то есть Р0Р = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+у); (x0+x,y0) и (x0+x,y0+у), причём Q0Q = f(Q0), S0S = f(S0) и R0R = f(R0). Приращение f(х0,у0) функции в точке Р0 равно RR2.


Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: Q2Q1 = fy(x0,y0)y и S2S1 = fx(x0,y0)x.

Из легко доказываемого равенства

R2R1 = S2S1 + Q2Q1

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен R2R1.

Так как df(x0,y0)  f(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.