reforef.ru 1 2 3 4
§2.Тригонометриялық теңдеулер жүйесі.




түріндегі жүйесін шешу деп жүйеге кіретін теңдеуді теңдікке айналдыратын айнымалының қос мәндерін (x пен y) айтады.

1-мысал. жүйені шешу керек.

Мүмкін мәндері және . Алмастыру әдісін пайдаланып десек, онда . Осы теңдеуді шешсек, немесе ,

және

Бұл жүйелердің шешімдерінің бірігуі берілген жүйенің шешімі болады, яғни және
2-мысал. жүйесін шешіңдер.
x,y мәндері интервалында жатады. I-ші теңдеуге дәрежені пайдаланайық, сонда



немесе

.

Сонымен бұдан немесе . Енді екі сызықтық теңдеулер жүйесін шешеміз.

және осылардан

және

интервалында болуы үшін k=0 дейміз, онда


және болады.

3-мысал. жүйені шешу керек.

I-ші теңдеудің сол бөлігін қосындыға келтірсек,

немесе

Егер болса, онда шешімі болады, бұларды мүшелеп қосу және азайту арқылы берілген жүйенің жалпы шешімін табамыз.



Егер болса жүйенің шешімі болмайды.

Осы сияқты

және

жүйелерін шешуге болады.

Егер бір теңдеулер жүйенің шешімі екінші бір теңдеулер жүйесіне шешім болса және керісінше екінші теңдеулер жүйесінің шешімі бірінші жүйені де қанағаттандыратын болса, онда мұндай жүйелерді мәндес жүйелер деп атаймыз.

Берілген тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу процесінде системаның бір теңдеуін басқа теңдеумен, бір жүйені түгелдей басқа системамен алмастырамыз теңдеулердің екі бөлігін бір өрнекке бөлеміз не белгілі бір дәрежеге шығарамыз. Әртүрлі түрлендірулер жасап, бірінен екіншісі шығатын мәндестікті бұзамыз. Осындай алмастырулармен түрлендірулер кезінде бөгде түбір пайда болуы немесе болуға тиісті түбірлердің жоғалуы мүмкін.

Осы айтылған себептерге байланысты жүйенің шешімін зерттейміз.

Тригонометриялық теңдеулер мен оның жүйелерінің шешімдері шектеусіз көп болғандықтан оларды тексеру, зерттеу өте қиын мәселелердің бірі болып есептеледі.

Біз бірі алгебралық, екіншісі тригонометриялық немесе екеуі де тригонометриялық теңдеулерден тұратын жүйелерді қарастырумен шектелеміз.


4-мысал. жүйені шешіңдер.

.

Соңғы тригонометриялық теңдеуден теңдігін ескеріп, мәндерінен төмендегідей жүйелер құрастырамыз.



Соңғы екі жүйе берілген жүйенің бірінші теңдеуін қанағаттандырмайды, сондықтан оларды қарастырмаймыз. Алғашқы екі шешімдер жүйесін берілген жүйенің екінші теңдеуіне қойып тексерсек, олар теңдеуді дұрыс санды теңбе-теңдікке айналдырады, олай болса, жүйе шешімі

және

Сонымен, мұндай жүйені шешу үшін түрлендірулердің көмегімен жүйені бір белгісіз бар тригонометриялық теңдеуге айналдырамыз.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу туралы бұрын айтылған тәсілдердің бірімен теңдеуді шешіп, табылған шешімдермен алгебралық теңдеуден жүйе құрастырамыз.

5-мысал. жүйені шешіңдер.

Теңдеулердің анықталу облысын ескерсек, жүйеден қосылғыштарын тапсақ,

немесе

Бірінші теңдеуді екінші теңдеуге мүшелеп бөлсек, . Соңғы жүйені квадраттап қоссақ, шығады,

бұдан немесе


x–тің осы мәнін ескерсек, теңдеуден немесе Бұл мәндерді берілген жүйеге қойсақ, әрбір теңдеу қанағаттанады. Сонымен



жүйенің ізделінді шешімдері.

Жүйенің шешімін тексеруді жеңілдету мақсатымен теңдеуге қатысатын барлық тригонометриялық функциялардың барынша кіші жалпы периоды ұғымын ендіреміз. Екінші мысалдағы барлық функцияларға қатынасты период

Тригонометриялық теңдеулерден тұратын жүйені шешу алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге ұқсайды. Бұл арада тиімді түрлендірулер мен алмастырулар қолданудың маңызы зор.

6-мысал. жүйені шешіңдер.

Мұндағы және шарттарын ескереміз. Берілген жүйені түрінде жазамыз.

Бұдан төмендегі алгебралық жүйе шығады. Бұдан немесе . Сызықтық көбейткіштерге жіктелік, ол үшін .Онда x пен y-ке қатысты алгебралық системаны тексерсек, бөгде түбір екені байқалады.

Жүйенің шешімін тексерелік:

1. 2. 3. 4.


(2),(4) жүйенің шешімі берілген жүйенің бірінші теңдеуін қанағаттандырмайды. (1) теңдіктер жүйесінің мәндерін қанағаттандырады, ал (3) теңдіктер берілген жүйенің екінші теңдеуін қанағаттандырмайды. Сонымен жүйенің жалғыз шешімі бар.

Жүйелерді төмендегі жоспармен шешу қолайлы:

1.Жүйенің периодын табамыз.

2.Жүйедегі x,y белгісіздері жарты интервалында анықталатындай түрде шектейміз.

3.Жүйені шешеміз, оның шешімдерін бір периодтың ішінде анықталатындай етіп жазамыз.

4. Жүйенің шешімін, ондағы теңдеулерге тікелей қойып, санды теңбе-теңдіктер шыға ма, жоқ па, соны тексереміз.

5. Егер жүйенің теңдеулерінің шешімі, жүйені қанағаттандырса, яғни онда жүйенің шешімі мұндағы теңдеулерді де қанағаттандырады.


§3. Тригонометриялық есептер жинағы мен ұсыныстар.

§1.1.
Жіктеу арқылы шешілетін тригонометриялық

теңдеулерге есептер.







































































§1.3. түріндегі теңдеуге есептер шығарып көрейік

















10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.
§1.3. 1-тәсілін пайдаланып есептер шығарайық:

1.

Шешуі: , . олай болса, теңдеудің шешімі болады. формуланы қолданамыз:

, , , бұдан

, , . Математикалық мәндер кестесінен табамыз: ;

,

Жауабы:

2.

, .


Жауабы: .

§1.3. 2-тәсілін пайдаланып есептер шығарайық:

1.

Шешуі: , ; -теңдеудің шешімі бар. .

1)

2) ,

Жауабы: .

2.

Шешуі: , , яғни -теңдеудің шешімі бар. . яғни .

Жауабы:

3.

Шешуі: , , яғни , -теңдеудің екі шешімі бар. ,

және болғандықтан, тағы бір шешімі болады: .

теңдеуін мына түрге келтіруге болады:


1) немесе

2) -біртекті теңдеуі, өйткені .

Жауабы:




<< предыдущая страница   следующая страница >>