reforef.ru 1 2 3 4
§4. Теңбе-тең түрлендірулер арқылы қарапайым түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер.


Тигонометриялық теңдеудің сипаты оның құрамындағы тригонометриялық өрнектің қабылдайтын мәндеріне немесе анықталу облысына байланысты. Алгебралық өрнектер сияқты тригонометриялық теңбе-теңдікті құрайтын өрнектерде түрлендіру есептер шешуде аса маңызды роль атқарады. Әсіресе теңдеулер шешуде тригонометриялық теңбе-теңдіктер аклғашқы немесе негізгі ұғым болып саналады. Теңдеулер шешуге өте көп теңбе-теңдіктерден ең қажеттісін таңдап алу–есептің тиімді тәсілдер көмегімен оңай шешілуіне мүмкіндік береді.

Бірнеше мысалдар қарастырайық:

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер.

Теңдеуді түрінде жазалық. Қосындыға түрлендіріп, өрнегін қос бұрыштың формуласы бойынша жазсақ, теңдеуді деп жазуға болады. Бұдан қарапайым теңдеулерге келеді. Бұл арада

Түбірлерді салыстыра келіп, түбірлерінің жалпы түбір екенін байқаймыз.

2-мысал. теңдеуді көмекші бұрыш енгізу арқылы шешіңдер. Келтіру формуласының көмегімен теңдіктерін жазамыз. Бұл арада мұндағы қарапайым теңдеуін алдық.



3-мысал. теңдеуді шешіңдер. Дәрежесін төмендету формуласының көмегімен

теңдеуді ықшамдаған соң, қосылғыштарды бірге топтап, көбейтіндіге түрлендірсек, . Бұл арада Немесе . Екінші теңдеуден ; Бұл теңдеулерден .


4-мысал. теңдеуін шешіңдер.

Бірінші және соңғы қосылғыштарды пайдаланып, толық квадрат алсақ және дәрежесін жоғарылату формуласын пайдалансақ, теңдеу түрге келеді.-ке қатысты квадрат теңдеудің түбірлерінен теңдеуін таңдап аламыз. Бұл арадан .

5- мысал. теңдеуді шешіңдер.

Теңдеудің шешімі мәндерінде болады. болатынын ескерсек, теңдеу сол жағын қосындыға түрлендірсек, ұқсас мүшелерін біріктіргеннен соң шығады.

өрнегінің мәні теңдеудің анықталу облысына енбейтіндіктен

немесе ;



6-мысал. теңдеуді шешіңдер.

1-тәсіл. Егер , онда , теңдеу дұрыс емес теңдікке айналады. Ендеше деп аламыз. Теңдеудің екі жағын да -ке бөліп, айнымалысын енгіземіз. Онда , ал және

Жауабы:


2-тәсіл. Дәрежені төмендету формуласын қолданып, теңдеуді мына түрге келтіреміз

Теңдеудің екі жағын да бөліп және қосымша бұрыш енгізу арқылы аламыз. Бұдан

Жауабы:

3-тәсіл. Теңдеуді мына түрде жазамыз



Қалғандары анық.

4-тәсіл. Теңдеуді -ке қатысты шешеміз

;



және -ты -тың жарты бұрышы арқылы өрнектеу оның ММЖ кішірейтеді және кейбір түбірлерін жойып алады. Қорыта келгенде , -ты -ң жоғалтады. Теңдеудің екі жағын да квадраттау арқылы тригонометриялық теңдеулерді шешу кейбір кездерде түбірлерінің жойылуына алып келеді. Сонымен, бұл екі тәсіл қосымша зерттеуді талап етеді.

§5. Біртектес тригонометриялық теңдеулер.


түріндегі теңдеуді біртектес теңдеу деп атайды. жағдайында теңдеудің екі бөлігінде өрнегіне көбейтіп теңдеуді аламыз, егер болса, онда соңғы теңдеудің мәні болмайды.


1-мысал. теңдеуді шешейік. Теңдеудің екі жағын өрнегіне көбейтіп, немесе Бұл арадан
2-мысал. теңдеуді шешіңдер.

Теңдеудің екі жағын -ке бөлеміз. Сонда мұндағы десек, жіктесек.



1)

2)

3) .

мәні де берілген теңдеудің түбірі болады, теңдеудің екі жағын -ке бөлу арқылы бұл түбірді жоғалттық. Сондықтан -ке бөлудің орнына, қайта жақша сыртына шығару керек еді.

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер.



Теңдеудегі қосылғыштарды тек -ке тәуелді болатындай түрге келтіреміз.

немесе .Біртектес теңдеуден шығады.Бұдан деп жазып, жіктесек,

шығады. Бұл арада


1)

2) десек,



еселік түбір.
§6. Параметрі бар тригонометриялық теңдеулер.

1-мысал. теңдеуінде, параметрінің барлық мәнін табу керек.

Бірінші қосылғышты мына



түрге келтіріп, ал екінші қосылғышты , айнымалысын енгізіп теңдеуді мына түрде жазып аламыз



Оның түбірі болады, егер

Солайша -ның кез келген мәнінде екі түбірі () болады. болғандықтан, егер түбірлерінің тым болмаса біреуі аралыққа кірсе, бастапқы теңдеудің мәні болады,

А. Екі түбірді де осы аралықта жатады деп алайық, яғни . Онда функциясының минимум нүктесінің абциссасы мына аралықта жатады:

функцияның минимал мәні теріс: а-ның кез келген мәнінде орындалады; функцияның мәні аралықтың соңында теріс емес: . Қарастырылған шарттардың жүйесі үйлеспегендіктен, аралықтарда екі шешімі болуы мүмкін емес.


В. аралыққа түбірлерінің біреуі жатады деп алайық. Онда аралықтың соңында әр түрлі таңбалы екі мән қабылдайды, оның біреуі нөлдік болуы мүмкін, яғни шарты орындалады, бұдан интервалдар әдісімен аламыз. Жауабы: .

2-мысал.

Шешуі. Теңдеудің сол жақ бөлігін кубтардың қосындысы бойынша теңдеуін аламыз немесе яғни мәні болады.

Соңғы теңсіздік береді. Ерекше жағдай . Онда теңдеу мына түрге келеді , шешімі жоқ.

Жауабы: болғанда,

және болғанда, шешімі болмайды.

3-мысал.-теңдеуін шешу.



а) Бір мезгілде мына теңсіздіктер орындалуы тиіс:

бұдан

Осы шарт бойынша

б) Бір мезгілде мына теңсіздіктер орындалуы тиіс:

бұдан .


Осы шарт бойынша

Жаубы: болғанда,

болғанда,

болғанда,

II-тарау.

§1.Кері тригонометриялық функцияға тәуелді

теңдеулер.

Бұл түрге жататын теңдеулердің шешімдерінің саны шектеулі болады. Сондықтан ба оның шешімдерін талдаудың ерекше қиындығы болмайды. функцияларға тәуелді теңдеу берілсін делік. Ол болсын. Мұндағы кері тригонометриялық функциялар. теңдігін жазалық. Соңғы теңдіктен алгебралық теңдеу шығу керек. Бұл теңдеу алғашқы мәндес болмайды. Алгебралық теңдеудің табылған түбірін x-тің анықталу облысымен салыстырамыз, қалған түбірлерін берілген теңдеуге қойып тексереміз.

1-мысал. теңдеуді шешіңдер.

x -тің анықталу облысын қарастыралық.

және Бұл арадан жалпы алғанда .

Теңдеудің екі жағын синустың аргументі деп қараймыз.



Бұдан әрі


екі жағын квадраттасақ, . Түрлендірсек, бұдан десек, теңдеу . Осы теңдеуді шешеміз:


Ал , онда осыдан және . x–тің табылған мәндерінің бәрі оның анықталу облысында жатады. Табылған мәндерді тексерсек,

1) онда яғни олай болса, түбір.

Тексере келіп, қалған түбірлердің теңдеуді қанағаттандырмайтынын байқаймыз.

2-мысал. теңдеуді шешіңдер.

формулаларын пайдаланып, берілген теңдеудің екі жағын тангенс функциясының аргументі ретінде қарастырсақ, берілген теңдеу түрінде жазылады.

Бұдан


немесе
немесе



3-мысал. теңдеуді шешіңдер:

деп белгілесек, онда

болғандықтан

1) шешім бола алмайды.

2)


4-мысал. Теңдеуді шешіңдер:


Кері тригонометриялық функциялардың қосындысы туралы теоремаға сүйеніп, -ті -пен алмастырамыз. Сонда берілген теңдеу немесе болады. Осыдан десек

1)

2) . Олай болса, 7 шешім бола алмайды.



<< предыдущая страница   следующая страница >>