reforef.ru 1 2 3 4


Аннотация

Оқушының аты-жөні: Сванбаева Мадина Асқарқызы

№86 жалпы білім беретін орта мектептің 11-сынып оқушысы.

Ғылыми жобаның тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулер

Ғылыми жобаның мақсаты:

  • тригонометриялық теңдеулердің түрлерін зерттеп, бірнеше тәсілдерін қарастыру.

Зерттеу кезеңдері:

  • тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;

  • тақырыпқа байланысты теориялық жадығаттар жинақтау, әдебиеттерге шолу жасау, талдау;

  • тригонометриялық теңдеулердің түрлерін қарастыру;

  • тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу жолдарын қарастыру;

  • кері тригонометриялық теңдеулерді қарастыру;

  • алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;

  • жұмысты қорытындылау.

Зерттеудің жаңашылдығы:

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді пайдаланып теңдеулер жүйесін және кері тригонометриялық теңдеулерді және параметрі бар теңдеулерді шешу жолдары көрсетілді.

Жұмыс нәтижелері мен қорытындылары:

Жинақталған мәліметтер мен алынған нәтижелер бойынша тригонометриялық теңдеулердің кейбір есептерінің моделі жасалынып,

теңдеуі, кері тригонометриялық теңдеулер, теңдеулер жүйесі зерттеліп, қорытындыланды.

Практикалық маңыздылығы: Тригонометриялық өрнектердің қасиеттерін пайдаланып кері тригонометриялық, параметрі бар тригонометриялық теңдеулерді шешуге болады.

Мазмұны
Кіріспе ....................................................................................................1

Зерттеу бөлімі ....................................................................................3


I-тарау. Тригонометриялық теңдеулер. ..........................................3

§1. Жіктеу арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер. ....4

§2. Қосу формулаларын пайдаланып шешілетін теңдеулер. .........5

§3. түріндегі теңдеулер. ....................................6

§4. Теңбе-тең түрлендірулер арқылы қарапайым түрге

келтірілетін тригонометриялық теңдеулер. ..............................12

§5. Біртектес тригонометриялық теңдеулер. .............................15

§6. Параметрі бар тригонометриялық теңдеулер. ......................18

II-тарау. ...............................................................................................20

§1. Кері тригонометриялық функцияға тәуелді теңдеулер. .......19

§2. Тригонометриялық теңдеулер жүйесі. .....................................22

§3. Тригонометриялық есептер жинағын мен ұсыныстар ............29

Қорытынды ........................................................................................37

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ................................................38

Кіріспе.

Тригонометрия элементтерін адамзат ежелгі замандардан бастап, бұрыштарды өлшеу мұқтаждықтары барысында қолдана бастаған. Тригонометриялық функциялардың қазіргі атаулары ХVI-XVIII ғасырларда пайда болған. Синус сөзі латын тілінен аударғанда «дөңестік деген мағынаны білдіреді, ал косинустағы «ко» қосымшасы латынның complementom-толықтауыш деген мағынаны білдіреді. Осы күнгі қолданылып жүрген sinx және cosx белгілеулері 1739 жылы И.Бернуллидің Л.Эйлерге жазған хатында алғаш рет ұсынылған. Бұл белгілеулерді қазіргі кезеңде кеңінен қолдана бастады.

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді қарастырған кезде олардың түрлері бойынша бөлсе қалай болады және бірнеше шешу жолдары болуы мүмкін бе?- деген сұрақтар туындады.


Осы ғылыми жобаны жасау барысында төмендегідей мақсатты алға қойдым:


  • тригонометриялық теңдеулердің түрлерін зерттеп, бірнеше тәсілдерін қарастыру.

Аталған мақсатқа жету үшін төмендегідей міндеттерді алға қойдым:

  • тригонометриялық теңдеулердің түрлері туралы материалдар жинақтау, классификациялау;

  • түріндегі теңдеуді қарастыру;

  • параметрі бар тригонометриялық теңдеулерді қарастыру;

  • кері тригонометриялық теңдеулерді қарастыру;

  • теңдеулер жүйесін қарастыру;

  • тригонометриялық теңдеулер түріне сипаттама беру;

  • күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешуді жинақтау;

  • тригонометриялық теңдеулерді түрлері бойынша бөлу;

  • тригонометриялық теңдеулері бар есептер жинағын құрастыру.

Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу жұмыстары мен модельдеу, талдау әдісі тәрізді жалпы ғылыми әдістер қолданылды. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеу бөлімінде баяндалады.

Зерттеу бөлімі

I-тарау.


Тригонометриялық теңдеулер.

Екі тригонометриялық функцияның теңдігін қанағаттандыратын аргументтің мәндерін іздеу тригонометриялық теңдеулерді шешуге келтіріледі. Мұндай теңдеулер тек нақты сандар жиынында ғана қарастырылады.

Мысалы, теңдеуінің түбірі жоқ, ал десек, .

Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіріп -түріне келтіреді. Бұлардың шешімдері төмендегідей болады:
  1. егер болса, ;


  2. егер болса, ;

  3. егер кез келген сан болса, ;

  4. егер кез келген сан болса, .

Тригонометриялық теңдеулер көбінесе негізгі алгебралық функцияларға келтіріліп шешіледі. Мысалы,

1. теңдеуді шешу керек. -ті арқылы жазсақ, шығады. Бұдан

1) бұдан немесе

2) бұл теңдеудің шешуі жоқ, себебі бірден артпауы керек.

2. теңдеуді аралығында шешу керек.

формуласын пайдаланып,

деп жазамыз.


1) аралығында тек ғана жатады. теңдеуін шешсек, бұнда түбірі шартты қанағаттандырады.




1) түбірі болады.

2)

Сонымен, теңдеудің аралығында төрт түбірі болады, олар .
§1. Жіктеу арқылы шешілетін тригонометриялық

теңдеулер.

Яғни түріне келтіретін теңдеулер. Сол белгілі бір бірнеше көбейтінділерден тұрады. Оң бөлігі нөл, сондықтан ең болмағанда бір көбейткіш нөлге тең болса ғана көбейтінді нөлге тең болады.

1. теңдеуді шешіңдер. (ММЖ) – мүмкін мәндер жиыны.

(ММЖ) тапсақ немесе

1) бұдан яғни

2) бұдан ММЖ-ға жатпайтынын көрсетейік.



-ның қандай мәнінде тақ емес, ММЖ жатпайды.

2.

ММЖ

1) бұдан

2) шешімі болмайды, себебі сол бөлігі әруақытта оң сан. Теңдеудің түбірі .

§2.Қосу формулаларын пайдаланып шешілетін


теңдеулер.

Мысалдар:

1. теңдеуін шешіңдер.

-ті түріне келтіріп аламыз:



1) яғни

2) яғни

2. теңдеуін шешіңдер.

немесе



мұндағы

мұндағы .

3. теңдеуді шешіңдер.

формуласын пайдалансақ

немесе

1) яғни

2) .
§3. .

түріндегі теңдеулер. Бұл теңдеулерді және -ге қарағанда біртекті теңдеулерге келтіруге болады. Немесе формуласын пайдаланып шешуге болады, мұндағы .


Мысалы, теңдеуді шешу керек. Жарты аргумент функцияларға көшсек,

Немесе бұл біртекті теңдеу, -ге

бөлгенде бұдан табатынымыз:
теңдеуінде және -кез келген нақты сандар.

Егер және -ке қарағанда біртекті теңдеулер.

теңдеуі бірінші дәрежелі біртекті теңдеу деп аталады. Бұл теңдеудің екі бөлігін де деп бөлсек, осы теңдеудің түбірін табамыз. Мысалдар:

1. теңдеуін шешу керек. теңдеуімен мәндес. немесе

түріндегі теңдеуді екінші дәрежелі пен -ке қарағандағы біртекті теңдеу дейді. -қа бөлсек, бұлар да мәндес теңдеулер, теңдеудің түбірі болмайды. және болса теңдеудің шешуі болады. Мысалы:


1. теңдеуін шешу керек. -қа бөліп мәндес теңдеу аламыз, бұл теңдеуді шешсек

1) яғни

2) яғни

2.



1)

2)

Егер ал онда теңдеудің мәні болмайды; егер онда x–кез келген нақты сан, яғни теңдеу теңдікке айналады. Мысалы қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын 2-ге бөліп, яғни немесе .

теңдеуін төрт тәсілмен шешуге болады. Мысалы, теңдеудің екі жағын да -ге бөліп, теңдеуін аламыз және т.б. Кез келген коэфиценті бар теңдеуін қарастырамыз. Мұндай теңдеулер әр түрлі жолдармен шығарылады.

1-тәсіл: теңдеуін қос бұрыш енгізу әдісі арқылы шешу.

Біз білеміз, егер болса, бұрышы болады, немесе керісінше. теңдеуін шешу үшін көбейткішін жақша сыртына шығарамыз. Сонда теңдеуін аламыз. болғандықтан, бірінші санды кейбір


бұрышының косинусы деп қабылдап, ал екінші сол

бұрышының синусымен алмастырып жазамыз, яғни , . Мұндай жағдайда теңдеу немесе түріне келеді, бұдан . Бұл теңдеудің шешімі болады, егер , сонда , .

бұрышы теңдігінен табылады, .

Жауабы: .

Қарастырылып өткен тәсіл функциясының max, min нүктелерін тапқанда жиі қолданылады.

Мысалы: функциясының max, min нүктелерін табу.

Шешуі: .

Максимум болады, яғни . Ал болатынын көру оңай.

Жауабы: , .

Қарастырылған тәсіл теңдеуінде универсалды болып қарастырылады. Ол сонымен қатар физикада гармониялық тербелістерді қосуда қолданылады.

2-тәсіл: – теңдеуін рационалдау әдісімен шешу.

Белгілі, егер , онда , және , арқылы рационалды өрнектеледі, яғни , және . Рационалдау әдісі мыналардан қорытылады: алмастырудан кейін рационалды теңдеу белгісіз көмекшімен салыстыруға болатын, белгісіз көмекші ендіреміз. теңдеуін қарастырамыз, бұдан теңдеуін аламыз. деп алсақ, онда аламыз. Бұл теңдеу- рационалды салыстырмалы .


Теңдеудің екі бөлігін көбейтеміз, сонда болады. немесе деп көрсек, болады. мәні –нақты, егер . Егер теңдеуінде деп алсақ, ендеше ол бірінші дәрежелі теңдеуге айналады: яғни , . болғанда, өрнегі көмекші белгісізге мәнін жоғалтады, яғни . теңдеудің шешімі жоғалуы мүмкін. теңдеуді алмастыру арқылы: ; .

Мұндай жағдайда теңдеу түріндегі шешімдер жиыны көп болады.


  1. Егер болса, онда теңдеудің шешімі болмайды, теңдеудің нақты түбірлері болмағандықтан.
  2. Егер және болса, онда теңдеуден табамыз.


  3. Егер , онда теңдеудің 2 шешімі бар: және .

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер.



Бұл теңдеуді көмекші бұрыш ендіру арқылы шешуге де болады. деп алып, төмендегі формулалардың көмегімен түрлендірсек, . Бұл арадан . Енді мәні берілген теңдеуді қанағаттандыратынын тексерелік.

Сонымен теңдеудің шешімі:


3-тәсіл: теңдеуін шешу әдісі. Теңдеудің екі бөлігін де квадраттау тәсілімен, біртекті теңдеуін аламыз. Бөгде түбір шығатындықтан, бұл әдіс ең жиі қолданылатын әдіс.

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер.



Теңдеуді анықталу облысына мәні енбейді. Берілген теңдеу тек -ке тәуелді, өйткені оны түрлендірсек, түріндегі теңдеуді аламыз. Анықталу облысын ескерсек, .Теңдеуді -ке қатысты шешсек, бірінші түбір теңдеудің анықталу облысына енбейді, ал екіншісінен .

Барлық тригонометриялық функциялар қатысатын теңдеулерді көбінесе арқылы өрнектеуге болады. Теңдеулерді бұл метод пен шешкенде көбінесе түбірді жоғалтуымыз мүмкін. Сондықтан шешімді тексеру қажет. Бұл методты Эйлер методына алмастыруы деп атайды.

4-тәсіл: теңдеуін шешу әдісі.

Теңдеуді мына түрде жазып аламыз:,яғн және т.б. түріндегі біртекті теңдеуін аламыз.




следующая страница >>