reforef.ru 1
§ 9. Поток вектора и электростатическая теорема Гаусса


Понятие потока вектора является одним из важнейших понятий векторного анализа. Оно используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей. Первоначально это понятие было введено в гидродинамике. Возьмем в поле скоростей жидкости малую площадку S, перпендикулярную к вектору скорости жидкости (рис. 1.16). Объем жидкости, протекающей через эту площадку за время dt, равен .


Рис.1.16.

Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объем будет, где-угол между вектором скорости и нормалью к площадке S. Объем жидкости, протекающей через площадку S в единицу времени, получится делением этого выражения на dt. Он равен , т.е. скалярному произведению () вектора скорости на вектор площадки S = Sn.

Единичный вектор нормали к площадке S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. Одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль . Та сторона площадки, из которой исходит нормаль , называется внешней, а та, в которую нормаль входит - внутренней. Если поверхность S не бесконечно мала, то при вычислении объема протекающей жидкости ее надо разбить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл по всей поверхности S.


Выражения типа () или встречаются в самых разнообразных вопросах физики и математики. Эти выражения имеют смысл независимо от конкретной физической природы вектора . Они называются потоком вектора через бесконечно малую площадку dS или конечную поверхность S соответственно. Так, интеграл называют потоком вектора напряженности электрического поля Е, хотя с этим понятием и не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор Е представляется геометрической суммой


Умножив это соотношение скалярно на dS и проинтегрировав, получим:
(1.26).
где Ф1, Ф2 ,..Фi — потоки векторов через ту же самую поверхность.

Таким образом, из того факта, что векторы складываются геометрически, следует, что их потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Перейдем теперь к доказательству важнейшей теоремы электростатики — теоремы Гаусса. Она определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S.

За положительную нормаль к поверхности S примем внешнюю нормаль, т.е. нормаль, направленную наружу (рис. 1.17).



Рис.1.17.

Предположим сначала, что электрическое поле создается единственным точечным зарядом q. На поверхности S поле определяется выражением

(1.27).
Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность S является сферой, а точечный заряд q помещен в ее центре. Поток вектора через элементарную площадку сферы равен

(1.28)
а поток через всю сферу Ф = qS/r2. Так как поверхность сферы S равна , то

(1.29.)
Покажем теперь, что результат (1.29) не зависит от формы поверхности S, окружающей заряд q. Возьмем произвольную элементарную площадку dS с установленным на ней положительным направлением нормали (рис. 1.18).



Рис.1.18.

Поток вектора через эту площадку будет

, (1.30)

где dSr — проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную к радиусу r.

Используя выражение (1.27), получим

. (1.31)

Величина есть телесный угол , под которым из точки нахождения заряда q видна площадка dSr, а, следовательно, и площадка dS.

Условимся считать его положительным, если площадка dS обращена

к q внутренней стороной, и отрицательным в противоположном случае.


Тогда . (1.32).

Поток Ф через произвольную (вообще говоря, незамкнутую) конечную поверхность S найдется интегрированием этого выражения по . Так как заряд q не зависит от положения площадки dS, то или

(1.33),

где— телесный угол, под которым из точки нахождения заряда q видна поверхность S. Если поверхность S замкнутая, то следует различать два случая.

Случай 1. Заряд q лежит внутри пространства, окруженного поверхностью S (рис. 1.19 а). В этом случае телесный угол охватывает все направления в пространстве, т. е. равен , а потому формула (1.33) переходит в (1.29). Не имеет значения, сколько раз прямая, исходящая из q, пересекает поверхность S. Допустим, например, что пересечение происходит три раза (рис. 1.19 б). Абсолютные значения телесных углов, под которыми видны элементарные площадки dS1,dS2, dS3, одинаковы. Однако площадка dS обращена к q внутренней, a dS2 — внешней сторонами.



Рис.1.19.

Сумма телесных углов, под которыми видны эти две площадки, равна нулю. Остается только телесный угол , под которым видна площадка dS1. И так будет всегда, когда число пересечений нечетное, т.е. в тех случаях, когда поверхность S окружает заряд q. Нечетное число пересечений при вычислении потока сводится к одному пересечению.


Случай 2. Заряд q лежит вне пространства, окруженного поверхностью S (рис.1.20). В этом случае прямая, исходящая из заряда q, либо совсем не пересекает замкнутую поверхность S, либо пересекает ее четное число раз. Поэтому полный телесный угол , а с ним и поток Ф равны нулю.


Рис.1.20.

Случай, когда точечный заряд q лежит точно на поверхности S, физического смысла не имеет. Точечный заряд есть идеализация, пользоваться которой допустимо только в тех случаях, когда линейные размеры заряженного тела малы по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается поле этого тела.

Если же заряд лежит на поверхности, то точки последней вблизи самого заряда этому условию не удовлетворяют. Допустим, что поле является суперпозицией полей точечных зарядов .По теореме, доказанной выше, поток вектора равен сумме потоков векторов . Если заряд qi окружен замкнутой поверхностью S, то его поток через эту поверхность будет Если же заряд лежит во внешнем пространстве по отношению к поверхности S, то его поток равен нулю. В результате получается следующее фундаментальное соотношение:

(1.34)

называемое электростатической теоремой Гаусса. Здесь q - алгебраическая сумма всех зарядов, окруженных замкнутой поверхностью S.

Заряды, расположенные во внешнем пространстве по отношению к этой поверхности, на величину потока не влияют. При доказательстве предполагалось, что все заряды точечные. Но это ограничение легко снять, так как всякий заряд можно мысленно разделить на малые части, каждая из которых может рассматриваться как точечный заряд.


Возьмем какой-либо произвольный замкнутый контур L и через каждую точку его проведем электрическую силовую линию (рис. 1.21). Эти линии образуют трубчатую поверхность, называемую силовой трубкой.



Рис. 1.21.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение трубки поверхностью S. Положительную нормаль к S проведем в ту же сторону, в какую направлены силовые линии. Пусть Ф — поток вектора через сечение S. Мы утверждаем, что если внутри трубки нет электрических зарядов, то поток Ф остается одним и тем же по всей длине трубки. Для доказательства возьмем другое поперечное сечение трубки S'. Рассмотрим замкнутую поверхность, ограниченную сечениями S и S' и боковой поверхностью трубки. Применим к ней теорему Гаусса. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как на поверхности трубки вектор касается этой поверхности. Поток через основание S численно равен Ф, но противоположен по знаку, так как внешняя нормаль к замкнутой поверхности направлена противоположно . Напротив, поток через основание S' равен +Ф'. Полный поток через рассматриваемую замкнутую поверхность будет (Ф' - Ф). По теореме Гаусса тот же поток равен нулю, так как внутри силовой трубки нет электрических зарядов. Таким образом, Ф' = Ф. В частности, если трубка бесконечно узкая, а сечения S и S' нормальны к ней, то


Получается полная аналогия с течением несжимаемой жидкости. В тех местах, где трубка уже, поле сильнее. В тех местах, где она шире, поле слабее. Следовательно, по густоте силовых линий можно судить о напряженности электрического поля.


Итак, полный поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на :

(1.35.)

Теорема Гаусса есть следствие закона Кулона. Последний по своей форме не отличается от закона всемирного тяготения Ньютона. И тут и там сила взаимодействия меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому теорема Гаусса справедлива также для гравитационных полей. Роль заряда играет гравитационная масса (умноженная на гравитационную постоянную). Различие состоит только в том, что электрические заряды могут быть и положительными и отрицательными, тогда как гравитационные массы всегда положительны.
§10. Плотность заряда
Так как элементарный заряд-заряд электрона - весьма мал, а макроскопические тела содержат очень большое количество элементарных зарядов, то распределение зарядов внутри таких тел можно считать непрерывными. Это позволяет ввести плотности заряда:

1) объемная плотность:



2) поверхностная плотность:



3) линейная плотность:


Здесь всюду - заряд рассматриваемого элемента (объема, поверхности, линии). Использование представления о том или ином распределении зарядов по объему или поверхности тела вместе с принципом суперпозиции существенно расширяет наши возможности описания электрических полей.

§11. Применение теоремы Остроградского-Гаусса
Поле шара, равномерно заряженного по поверхности и объему

Поскольку сфера заряжена равномерно, все направления от ее центра равноправны. Иными словами, при любом вращении сферы вокруг центра в системе зарядов ничего не изменяется. Значит, не должно измениться при таком вращении и электрическое поле. Это может быть только в том случае, если направление вектора напряженности электрического поля совпадает с направлением радиус-вектора , а величина зависит только от . Такое поле называется центрально-симметричным, а силы- центральными.


Для применения теоремы Остроградского-Гаусса мысленно опишем вокруг заряженной сферы сферу большего радиуса с тем же центром. Всюду на этой сфере величина напряженности поля принимает одно и то же значение, а вектор ортогонален сфере. Величина потока вектора напряженности электрического поля рассчитывается по формуле:



В силу теоремы Остроградского-Гаусса имеем:

, (1.36)

где q- полный заряд на сфере.

Отсюда (1.37)

Поле вне заряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр сферы. В близи поверхности сферы напряженность поля равна:

(1.38), где

-поверхностная плотность заряда сферы.

Внутри сферы поля нет, так как внутри сферы заряды отсутствуют:


Поле бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
Из соображений симметрии следует, что вектор напряженности поля в любой точке пространства должен быть направлен вдоль радиальной прямой, перпендикулярной оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть только от расстояния от оси цилиндра.

Найдем поток вектора напряженности электрического поля через воображаемую цилиндрическую поверхность радиуса и длиной , соосную нашему заряженному цилиндру. Поток через основания цилиндрической поверхности равен нулю, а поток через ее боковую поверхность снова равен произведению напряженности Е на площадь поверхности , поскольку скалярное произведение , как следует из соображений симметрии, принимает одинаковое значение Е во всех точках воображаемой поверхности:


(1.39)
При (где R-радиус заряженного цилиндра) внутри воображаемой цилиндрической поверхности находится заряд , где- линейная плотность заряда цилиндра длиной . Согласно теореме Остроградского-Гаусса получаем

, (1.40)

откуда напряженность поля бесконечно длинного заряженного цилиндра на расстоянии от него будет равна:
для (1.41)

При внутри воображаемой цилиндрической поверхности нет зарядов, и поэтому поле равно нулю.

Электростатическое поле бесконечной равномерно

заряженной плоскости.

Поверхностная плотность электричества на заряженной плоскости, по предположению, постоянна. Ввиду симметрии вектор должен быть перпендикулярен к этой плоскости. Он направлен от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Ввиду той же симметрии длина вектора может зависеть только от расстояния до заряженной плоскости, но не может зависеть от того, по какую сторону от нее находится точка наблюдения. Заметив это, построим цилиндр с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней (рис. 1.22).


Рис.1.22. Электрическое поле бесконечной равномерно


заряженной плоскости

Если S — площадь каждого из оснований, то поток вектора через одно основание будет ES, а через оба основания 2ЕS. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как на ней векторы и взаимно перпендикулярны. Поток через всю поверхность цилиндра будет равен, поэтому Ф = 2ЕS.

Внутри поверхности находится заряд .По теореме Остроградского-Гаусса и напряженность поля заряженной плоскости равна:

. (1.42.)

Итак, поле бесконечной заряженной плоскости однородно (не зависит от расстояния до нее) и перпендикулярно плоскости.
Поле равномерно заряженной бесконечной

плоскопараллельной пластинки

Пусть 2а - толщина пластинки, а - объемная плотность электричества внутри пластинки. По предположению величина постоянна. Начало координат О поместим в средней плоскости пластинки, а ось х направим перпендикулярно к ней (рис. 1.23).



Рис.1.23. Электрическое поле равномерно заряженной бесконечной

плоскопараллельной пластинки

Рассуждая, как в предыдущей задаче, найдем

(1.43).

Будем беспредельно уменьшать толщину пластинки, одновременно

увеличивая плотность электричества , чтобы величина оставалась постоянной. В пределе получится бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью электричества , а формула (1.43) перейдет в ранее полученную формулу (1.42).


Поле плоского конденсатора

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными разноименно с одинаковыми параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями (модель плоского конденсатора). Как видно из рис.1.24., напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности заряда и , равна сумме напряженностей полей, создаваемых обеими плоскостями, т.е.

(1.44)



Рис.1.24. Электрическое поле плоского конденсатора

Вне плоскостей векторы и от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность в пространстве вне плоскостей равна нулю (Е=0).