reforef.ru 1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ


ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ

МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
ІНЖЕНЕРНА ГІДРАВЛІКА.

Рух рідини у відкритих руслах

(Конспект лекцій для студентів 3 курсу денної і заочної форм навчання,

екстернів і іноземних студентів спеціальності 6.092600 – «Водопостачання та водовідведення»)

Харків – ХНАМГ – 2007

Інженерна гідравліка. Рух рідини у відкритих руслах. (Конспект лекцій для студентів 3 курсів денної і заочної форм навчання, екстернів і іноземних студентів спеціальності 6.092600 – «Водопостачання та водовідведення»)./Укл.: Шевченко Т.О., Яковенко М.М. – Харків: ХНАМГ, 2007. - 94 с.

Укладачі: М.М. Яковенко

Т.О. Шевченко
Рецензент: докт. техн. наук, проф. С.С. Душкін
Рекомендовано кафедрою водопостачання, водовідведення та очистки вод, протокол № 1 від 30.08.2007 р.

ВСТУП
Конспект лекцій написано відповідно до програми курсу «Інженерна гідравліка» і навчального плану для студентів денної і заочної форм навчання, екстернів і іноземних студентів спеціальності 6.092600 «Водопостачання та водовідведення». В конспекті наведені загальні відомості про рух рідини у відкритих руслах, розглянуті питання рівномірного й нерівномірного руху рідини у відкритих руслах, розрахунок каналів, основні емпіричні формули розрахунків безнапірного руху рідини в закритих руслах, визначення нормальної глибини потоку.

Також у конспекті розглянуті питання сполучення б’єфів, гідравлічний стрибок, рівняння стрибкової функції, методи інтегрування диференціального рівняння встановленого плавного нерівномірного руху рідини в призматичному руслі.

Конспект лекцій призначений для студентів 3 курсів вищих навчальних закладів, які готують спеціалістів у галузі водопостачання, каналізації, раціонального використання й охорони водних ресурсів.

ТЕМА 1. УСТАЛЕНИЙ РУХ РІДИНИ У ВІДКРИТИХ РУСЛАХ


    1. Диференціальне рівняння сталого руху рідини, що плавно змінюється


У попередніх лекціях розглядався в основному напірний рух рідини, при якому форма й розміри живого перерізу потоку визначалися формою й розмірами перерізу самого русла.

При русі у відкритому руслі будь-яка місцева зміна умов руху неминуче приведе до деформації живого перерізу потоку на деякій його довжині.

У цій лекції ми розглянемо сталий рух рідини, що плавно змінюється, у відкритих руслах, при якому зміна основних параметрів потоку по його довжині відбувається плавно. Тому при виведенні рівнянь руху можна зневажити складовими місцевих швидкостей у площині живого перерізу потоку й прийняти розподіл тиску в цій площині відповідному гідростатичному закону. Будемо вважати, що робота сил опору при нерівномірному й рівномірному русі практично однакова.

В інженерній практиці відкриті русла розділяють на дві категорії: призматичні й непризматичні.

До призматичних русел належать русла, в яких основні геометричні параметри потоку залишаються постійними по всій довжині.

Площа живого перерізу потоку призматичного русла залежить від глибини наповнення русла

W=f(h) (1.1)

У випадку непризматичного русла площа живого перерізу потоку є функцією двох змінних

W=f(h,S), (1.2)

де h - глибина наповнення русла;

S - характерний поперечний розмір для даної форми русла.

Розглянемо загальний випадок сталого руху рідини плавно, що змінюється, у відкритому непризматичному руслі:
1 P0
2

z1 h
1 V

а i z2 h+dh
0 0

dl 2

l+dl


Рис.1.1 – Сталий рух рідини, що плавно змінюється, у відкритому непризматичному руслі.

Уведемо наступні позначення:

i = sin? - поздовжній ухил дна русла;

Po – зовнішній тиск, звичайно рівний Ратм;

Q – витрата потоку;

W – площа живого перерізу потоку;

h – найбільша глибина потоку в даному живому перерізі, різна для різних перерізів;

? - коефіцієнт енергії Кориоліса;

V= Q/w – середня швидкість у даному живому перерізі;

I – гідравлічний ухил звичайно прийнятий для відкритих русел рівним поздовжньому ухилу вільної поверхні потоку;

а = i·l – відстань по вертикалі від дна до площини в даному живому перерізі.

Русло з позитивним ухилом дна - це таке русло, у якого абсолютні позначки дна зменшуються за напрямком руху рідини.

Виділимо в потоці два перерізи 1-1 і 2-2 на нескінченно малій відстані dl один від одного (рис. 1.1).

Для виділених перерізів складемо рівняння Бернуллі щодо площини 0-0, проведеної через нижню крапку живого перерізу 2-2

. (1.3)

Розкриваючи (V+d)2 як V2+2Vd+(d)2, зневажаємо (d), тому що в силу його невеликої величини й, заміняючи dhтр на Vdl/CR, і в процесі перетворень замінивши V=Q/w запишемо:

. (1.4)

Це рівняння називають загальним диференціальним рівнянням сталого руху, що плавно змінюється, у відкритому руслі.

У випадку призматичного русла рівняння спрощується, тому що величина d/dl = 0


(1.5)

Перетворюючи величину ? Q2B/g3, одержуємо:

,

де hср = W/B – середня глибина перерізу.

Надалі безрозмірний комплекс Пк= будемо називати параметром кінетичності потоку.

Для прямокутного перерізу русла hср = h і ? = 1 параметр кінетичності являє собою число Фруда:

Fr=





    1. Види усталеного руху рідини в призматичному відкритому руслі


Рівняння (1.5) відбиває характер зміни глибини потоку по його довжині у відкритому призматичному руслі.

При Пк?1 знаменник рівняння (1.5) прагне до нуля й похідна dh/dl? ?.

Мають місце випадки руху рідини, що змінюється не плавно, які рівнянням (1.5) не описуються.

Рівняння (1.5) при Пк=1 має три випадки:

  • dh/dl>0 - рух з наростанням глибин по довжині потоку - утвориться крива підпора.

  • dh/dl<0 - рух зі зменшенням глибин по довжині потоку - утвориться крива спаду.

  • dh/dl = 0 - рух з постійною глибиною по довжині потоку.

Перші два випадки - це нерівномірний рух рідини, що плавно змінюється, тоді як третій випадок відповідає рівномірному руху рідини.

Рівняння рівномірного руху рідини у відкритому руслі, як окремий випадок рівняння (1.5)

. (1.6)


Рівняння (1.6) випливає з рівняння Шезі, тому що при рівномірному русі рідини у відкритому руслі I = i.

Надалі глибину потоку, що відповідає рівномірному руху будемо називати нормальною глибиною, і позначати символом h0. Тоді рівняння (1.6) можна переписати

Q=W0 C0 (1.7)

C0, R0 ,W0 відповідають нормальній глибині h0.

Користуючись поняттям витратної характеристики K = W C , перетворюємо формулу (1.7)

Q=K (1.8)

де K = W C
1.3. Питома енергія потоку й перерізу
Механічна енергія маси рідини, що протікає в одиницю часу через обраний живий переріз потоку, віднесена до одиниці ваги й обумовлена щодо довільної горизонтальної площини – називається питомою енергією потоку Е.

При русі, що плавно змінюється, для будь-якої крапки живого перерізу потоку можна записати (рис. 1.2)
В
dh

P/? g


М

Z h

01 01

a

0 0

Рис.1.2 - Переріз потоку при русі рідини, що плавно змінюється

, (1.9)

де Р - надлишковий тиск.

Униз за течією питома енергія Е для усталеного руху повинна зменшуватися, тому що сам рух відбувається за рахунок витрати цієї енергії.

Проведемо площину порівняння через нижню точку цього перерізу 0-0 (рис.1.2).

Питому енергію в даному живому перерізі, яку визначено щодо горизонтальної площини, що проходить через нижню точку цього перерізу, називають, питомою енергією перерізу й позначають символом Э.

(1.10)

Помітимо, що Э обчислюють в кожному перерізі потоку щодо своєї горизонтальної площини порівняння.

З рівнянь (1.9) і (1.10) виходить:

Э = E - a = E – il.

Знаючи, що .

Одержимо:

, (1.11)

якщо i >0, то

(1.12)

З рівняння (1.12) видно, що при рівномірному русі dЭ/dl=0, тому що К0 = К, а при нерівномірному русі dЭ/dl<>0 залежно від співвідношення К0.

Зміст останнього положення полягає в тім, що при рівномірному русі робота сили тяжіння повністю витрачається на подолання сил опору й зміни питомої енергії перерізу не спостерігається. Якщо ж К0 > К, середня швидкість потоку буде менше, ніж при рівномірному русі, гідравлічні опори зменшуються й частина роботи сил тяжіння дасть поступове нагромадження питомої енергії перерізу вниз за течією. При К0 < К картина буде зворотна, тобто на подолання опору затрачається більше енергії, чим може дати сила тяжіння і додаткова енергія, що вимагається, буде запозичуватися з питомої енергії перерізів, які є наступними, тобто dЭ/dl<0.

1.4. Критична глибина, спокійні й бурхливі потоки
Розглянемо залежність питомої енергії перерізу Э від глибини наповнення h при заданій формі поперечного перерізу русла й при Q = const.

З раніше викладеного питома енергія перерізу Э складається з двох частин: Эпот = h і Экін = . Помітимо, що тенденція їхньої зміни зі зміною глибини діаметрально протилежна:

При h ? 0 Эпот ? 0 Экін ? ?

При h ? ? Эпот ? ? Экін ? 0

Отже, функція Э=f(h) на графіку питомої енергії (рис.1.3) має вигляд кривої з двома відгалуженнями, що йдуть у нескінченність.

h
Экин =

Эпот= h



hкр
450
Эmin Э

Рис.1.3 - Графік питомої енергії
При цьому Эпот відобразиться у вигляді прямої – бісектрисою координатного кута, а Экин – у вигляді деякої кривої другого порядку.

h

h


hкр

Экр Э

Рис. 1.4 – Графік складових питомої енергії


Лінія, що характеризує зміну питомої енергії перерізу залежно від h, асимптотично наближається до бісектриси координатного кута й до осі абсцис і має екстремальну точку при деякому значенні глибини наповнення.

Глибина потоку, при якій питома енергія перерізу для заданої витрати в даному руслі досягає мінімального значення, називається критичною глибиною й позначається hкр.

Екстремальна точка на графіку ділить криву питомої енергії на дві частини: верхню, де h > hкр, і нижню, де h < hкр. Відповідно розрізняють три стани потоку:

1) спокійний стан, при якому h > hкр, а питома енергія перерізу збільшується зі збільшенням h;

2) бурхливий стан, коли h < hкр, а питома енергія перерізу зі збільшенням зменшується;

3) критичний стан при h = hкр і Э = Эmin.

За графіком (рис.1.4) можна наочно простежити за зіставленням Эпот = h і Экин= для даного русла при Q = const. На рис. 1.4 частка внеску глибини h і коефіцієнта в значенні питомої енергії перерізу Э відбита горизонтальними відрізками.

Для висновку рівняння критичного стану використовуємо Э = Эmin, тобто (dЭ/dl)кр=0 маємо:

.

Раніше було показано d/dh = B, тоді для призматичних русел d/dh= B.

=0,


. (1.13)

Рівняння (1.13) називається рівнянням критичного стану.

Для русла довільної форми воно вирішується підбором або графічно.

Для русла правильного поперечного перерізу рішення більш прості. З рівняння (1.13) маємо:

.

І після перетворень

(hср)кр=2()кр.

Це можна записати – .

Підставляючи у вираження для питомої енергії перерізу, одержуємо:

Эmin = hкр + ()кр = 3/2hкр. або hкр = Эmin.

Для прямокутного перерізу з формули (1.13) маємо

hкр= , (1.14)

де q=Q/B – питома витрата, тобто витрата на одиницю ширини прямокутного русла. При ? =1 і g=9,81 маємо hкр=0,467 g2/3.

Для трапецієвидного русла критичну глибину розраховують аналітичним шляхом, запропонованим І.І. Агроськіним.

W = bh + mh = (b+mh) h; B = b + 2mh;

?=b+2h ;

R = W/X = (b+mh)h/(b+2h ); B=b/h


Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

?Q2/g=(bhкр.т + mhкр.т)/b+2hкр.т =

= hкр.т (1+mhкр.т/b)/1+2mhкр.т/b. (1.15)

Позначимо відношення mhкр.т через z

hкр.т = hкр 1+2zт/1+z. (1.16)

І.І. Агроськін запропонував наближену залежність:

hкр.т=hкр ( 1-zn/3+0,105zn), (1.17)

де zn=mhкр./b.

Для русла із трикутним перерізом:

W = mh; B = 2mh.

Тоді рівняння (1.13) прийме вигляд:

?Q2/g=(mhкр.тр.)/2mhкр.рт=0,5m h,

hкр.тр = ?Q2/g(Q/m). (1.18)

При ? = 1 g = 9,81 м/с2;

hкр.тр = 0,73 (Q/m).

Для сегментного русла:

На підставі критичного стану потоку можна одержати вираження для критичної глибини. Для цього використовуємо геометричні величини.

w=1/2( -sin ?)r;

B-2rsin? /2=2r 1-cos ?,

де ? - центральний кут сегмента, рад.;

r - радіус кругового поперечного перерізу.

Для сегментного русла:

hкр.с=. (1.19)

Порядок визначення hкр.с за способом І.І. Агроськіна наступний. На початку визначають допоміжний параметр – критичну глибину прямокутного русла із шириною, що дорівнює r, тобто


hкр.г. = ?Q2/gr. (1.20)

Далі знаходимо значення відношення hкр.г./r. За знайденим значенням у таблицях знаходимо відношення шуканої критичної глибини сегментного русла до r, тобто hкр.с./r . Помноживши це значення на r, одержуємо значення hкр.с.

При спільному розгляді рівнянь (1.13) і Пк= ?Q2B/gw3 приходимо до висновку про рівність параметра кинетичності одиниці, при критичному стані потоку може бути зроблений висновок за значеннями параметра кинетичності:

Пк < 1 – спокійний стан потоку;

Пк > 1 – бурхливий стан потоку.
1.5. Критичний ухил
З вище викладеного ми бачимо, що критична глибина залежить тільки від геометричної форми поперечного перерізу русла й витрат, та не залежить від ухилу i.

При рівномірному русі рідини нормальна глибина, по рівнянню (1.7) залежить саме від ухилу. Очевидно, для будь-якого призматичного русла можна підібрати таке значення ухилу, при якому нормальна глибина h0 стане рівною hкр.

Критичний ухил - це ухил, при якому нормальна глибина дорівнює критичній.

Для визначення hкр будемо спільно вирішувати рівняння (1.7) і (1.13), дорівнюючи h0 = hкр.

, звідки (1.21)

тому що Wкр = RкрXкр.

Розглянемо співвідношення Х і В, наприклад для прямокутного русла:

Х=b+2h; B=b.

Тоді: X/B=1+2h/b або B/x=B/B+2, де B=b/h.

Для випадків, коли можна прийняти Хкр = Вкр

iкр = g/? C2кр

? = 1 g=9,81м/с ? = 1,1 g=9,81м/с

iкр = 9,81/c iкр = 8,92/c

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ


  1. Які прийняті пропозиції щодо гідравлічних опорів при рівномірному й нерівномірному русі, коли розглядають рух, що плавно змінюється?

  2. Які русла відносяться до призматичних і непризматичних?

  3. Напишіть диференціальне рівняння сталого руху рідини у відкритому руслі, що плавно змінюється. Чому таке рівняння для непризматичного русла відрізняється від рівнянь для призматичного русла?

  4. Як можна витлумачити параметр кинетичності з енергетичної точки зору?

  5. Що таке питома енергія потоку й чим вона відрізняється від питомої енергії перерізу?

  6. Як змінюється по довжині питома енергія перерізу й питома енергія потоку? Чи може питома енергія перерізу бути постійною по довжині потоку?

  7. Чи може питома енергія потоку збільшуватися вниз за течією або зменшуватися?

  8. У чому полягає трактування зміни питомої енергії перерізу з погляду співвідношення роботи сил опору й роботи сил тяжіння при русі рідини?

  9. Які особливості питомої енергії перерізу і її змін по довжині в руслах з нульовим і зворотним ухилом?

  10. Яка глибина в даному руслі називається критичною?

  11. Як визначити критичну глибину в руслах прямокутного й трапецієвидного поперечних перерізів?

  12. Як визначити критичну глибину в трикутному руслі?

  13. Чому дорівнює hкр у руслі з параболічним поперечним перерізом?

  14. Критична глибина в сегментному руслі.

ТЕМА 2. РІВНОМІРНИЙ РУХ РІДИНИ У ВІДКРИТИХ РУСЛАХ


    1. Типи відкритих русел. Умови існування рівномірного руху


Відкритими називають русла, контур поперечного перерізу яких утворений незамкнутою лінією. До них можуть бути віднесені канали замкнутого перерізу з частковим заповненням його потоком.

Рідина в таких руслах рухається під дією сили тяжіння.

Такий рух безнапірний, потік має вільну поверхню.

Характер руху рідини у відкритому руслі, форма й ухил вільної поверхні потоку, його глибина залежать від типу, розміру й форми перерізу русла, ухилу його дна.

Русла можуть бути призматичними й непризматичними.

У призматичних або циліндричних руслах форма і розміри елементів поперечного профілю зберігаються незмінними по довжині русла. Площа живого перерізу може змінюватися тільки зі зміною глибини потоку h.

У непризматичних русел форма і геометричні розміри будь-якого елементу поперечного перерізу змінюються по довжині русла. Площа живого перерізу русла є функцією не тільки глибини h, але й довжини l.

До русел правильної форми поперечного перерізу відносяться такі, для яких елементи живого перерізу потоку, площа зі змоченим периметром Х, гідравлічний радіус R, ширина русла по вільній поверхні В – безперервні функції глибини потоку h, що зберігають своє вираження у всьому діапазоні зміни глибини.

Цим умовам задовольняють штучні русла – прямокутного, трикутного, трапецієвидного, параболічного перерізів. До них відносяться й круглі русла, але при наповненні h < 2.

До русел неправильної форми відносяться відкриті русла складного (полігонального) профілю поперечного перерізу (рис.2.1)

Рис. 2.1 - Відкриті русла складного (полігонального) профілю поперечного перерізу


Русла замкнутого профілю будь-якої форми в діапазоні значної зміни глибин (рис.2.2):



Рис. 2.2 - Русла замкнутого профілю будь-якої форми

Відкриті русла діляться на русла із прямим ухилом (i>0), горизонтальні (i=0), і русла зі зворотним ухилом дна (i<0), коли ухил підвищується в напрямку руху потоку.

Рівномірним називається рух, гідравлічні елементи якого не змінюються по довжині потоку.

Рівномірний рух потоку можливий тільки в призматичних або циліндричних руслах. При цьому умова рівномірного руху - сталість витрати уздовж потоку, шорсткість стінок русла по його довжині.

Задовольняти всім зазначеним вимогам можуть тільки штучні русла.


2.2. Рівняння рівномірного руху. Емпіричні формули для швидкісного множника й швидкісної характеристики
Нехай у відкритому призматичному руслі, дно якого становить кут ? з горизонтом, має місце рівномірний рух з постійною глибиною h.



Рис. 2.3 – Рівномірний рух у відкритому призматичному руслі

Виберемо два довільних перерізи 1-1 і 2-2 у межах цього русла, що віддалені один від одного на відстані l1-2, і, вибравши площину порівняння, запишемо рівняння Бернуллі для точок, що лежать на вільній поверхні рідини в межах перерізів

. (2.1)

Тиск на вільній поверхні рідини Р12а й швидкості рівні між собою.

z1 – z2 = hw 1-2 (2.2)

Так як русло призматичне, тому місцеві опори відсутні. Втрати напору будуть тільки за рахунок подолання сил тертя по довжині, тоді


hw 1-2=hwl (2.3)

Підставивши (2.3) в (2.2) і віднесемо обидві частини рівняння до відстані між перерізами, одержуємо:

z1 – z2/l 1-2 = hw1 1-2/l 1-2 (2.4)

Ліва частина рівняння:

z1 – z2/l 1-2 = sin ? . (2.5)

При малих кутах

sin ? = tg ? = i, (2.6)

де i– ухил дна русла.

Перша частина рівняння (2.4) hw 1-2/l1-2 = if, (2.7)

де if – ухил тертя.

Основне рівняння рівномірного руху:

i = if . (2.8)

Або іншими словами – ухил вільної поверхні (п’єзометричний) In дорівнює гідравлічному I, що в свою чергу дорівнює ухилу дна i.

I = In = i (2.9)


Рис. 2.4 – Рівномірний рух у відкритому руслі

Виділимо у відкритому руслі ділянку (рис.2.4), обмежену двома довільними перерізами 1-1 і 2-2, що знаходяться один від одного на відстані l. Відкинувши подумки частину потоку до й після перерізів, замінимо його силами Р1 і Р2 - нормальними стискаючими силами надлишкового гідродинамічного тиску в перерізах. Вагу рідини розкладемо на дві складові: R1 – паралельну дну й R2 – перпендикулярну йому.

Якщо рівнодіюча сил тертя Т, то умова рівноваги сил, що діють паралельно дну, запишемо:

Р1 – Р2 + R1 – Т=0, (2.10)


Р11w, (2.11)

Р22w, (2.12)

де р1 і р2 – гідродинамічний тиск у центрах ваг розглянутих перерізів.

R1=G·sin ?, (2.13)

G=? g·w·l, (2.14)

R1=? g·w·l(z1 – z2)/l=? g·w(z1 – z2). (2.15)

Сили тертя дна й стінок русла запишемо

Т= ? ? l, (2.16)

де ? - дотичне напруження.

Перенесемо Т у праву частину рівняння (2.10) і, підставляючи отримані для діючих сил вираження, одержимо

p1w – p2w= ? g w·(z1 – z2) = ? ? l. (2.17)

Розділимо обидві частини рівняння на (? g w) одержимо:

p1/? g – p2/? g=z1 – z2= ? ? l /? g w. (2.18)

Позначивши W/X=R, V1=V2 додаючи й віднімаючи в правій частині швидкісні напори V21/2g і V22/2g, одержимо, якщо віднесемо обидві частини рівняння до l,

, (2.19)

hf/l = i - . (2.20)

При турбулентному режимі руху втрати на тертя по довжині

hl =kV2, де k – коефіцієнт пропорційності. Можна вважати, що дотичні напруги

? =kV2 . (2.21)

З урахуванням рівнянь (2.8) і (2.20)

R i=kV2/?g. (2.22)

Звідси середня в перерізі швидкість:

V= . (2.23)

Позначимо

? g/k=C. (2.24)

Одержимо формулу Шезі.

V=C , (2.25),

де C – швидкісний коефіцієнт Шезі.

За даними Павловського Н.Н.

C=1/nRy, (2.26)

у – показник степеня, у загальному випадку функція гідравлічного радіуса R і коефіцієнта шорсткості n.

Шорсткість – сукупна нерівність твердої поверхні, що впливає на виникнення сил тертя потоку об дно й стінки русла. Залежить від абсолютного розміру нерівностей і характеризується коефіцієнтом шорсткості – n. Позначивши

C = W, (2.27)

Одержуємо формулу Шезі – Павловського для визначення середньої в перерізі швидкості при рівномірному русі:

V=W, (2.28),

де W – швидкісна характеристика, i – ухил русла.

Швидкісна характеристика має певний фізичний зміст - це середня в перерізі швидкість потоку при ухилі дна i = 1 визначається за формулою

W=1/nRz, (2.29)

де n – коефіцієнт шорсткості; z – показник степеня.

Значення коефіцієнтів шорсткості приводиться в спеціальних посібниках і довідниках.

Витрата визначається зі співвідношення Q=?W з врахуванням формули (2.29) витрата при рівномірному русі:


Q=?W . (2.30)

Якщо замінити ?W = k, (2.31)

де К0 – витратна характеристика.

Фізичний зміст К0 – це витрата при ухилі дна i = 1.
2.3. Припустимі середні швидкості в перерізі, що не розмивають і не замулюють русло
Для безперебійної роботи відкритих русел і інших штучних водопропускних споруд велике значення має правильне призначення розрахункової швидкості Vрозр.

Ця швидкість повинна бути Vminрозр.доп,

де Vmin – мінімальна припустима (незамулююча) середня в перерізі швидкість, тобто швидкість, при незначному зниженні якої можна чекати замулювання русла наносами;

Vдоп – максимальна припустима швидкість (та, що не розмиває русло) середня в перерізі швидкість, тобто найвище значення середньої швидкості руху води, при якій для обраного типу кріплення або ґрунту, потік викликає розмиви русла.

Максимальні припустимі середні в перерізі швидкості Vдоп визначають на основі натурних спостережень і зводять до таблиці. Їх можна знайти в довідниках по гідравліці.

Мінімальні припустимі середні в перерізі швидкості протікання води Vmin залежать від кількості й розмірів зважених часток. Для їхнього визначення існують залежності й таблиці, складені на основі натурних спостережень і дослідних даних.

Якщо насиченість потоку наносами з діаметром часток більше 0,25 мм не перевищує 0,01% по вазі, то

Vmin=a, (2.32)

де R – гідравлічний радіус, м;


a - множник, що залежить від середнього діаметра часток, що переважає у масі зважених наносів.

Наприклад, dср. = 0,1 мм, а = 0,22 м/с, а при dср. = 1,0 мм, а = 0,95м/с.

Мінімальна припустима швидкість може бути визначена згідно до залежності:

Vmin=?h0,64, (2.33)

де а – коефіцієнт, що залежить від характеристики наносів; для великих піщаних мулистих наносів а = 0,63, для середніх піщано-мулистих наносів а = 0,56.

Припустима незамулююча швидкість може бути також визначена за залежністю А.С. Гірікана

Vmin=AQ0,2, (2.34)

де Q – витрата, м/с;

А – коефіцієнт, що залежить від гідравлічної крупності наносів м3/сек.; А=0,33 при U < 1,5 мм/с.

У трубах дощової й загальносплавної каналізації при періоді повторюваності розрахункового дощу Р = 0,5 допускається значення самоочищувальної швидкості, Vmin = 0,6м/с.

При русі стічних вод у дюкері Vmin = 0,9м/с.

Найменші розрахункові швидкості руху мулу Vmin у напірних мулопроводах:

Зміст води в мулі, %

Vmin, м/с

98

0,7 – 0,8

95

1,0 – 1,1

90

1,5 – 1,6


КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1. Які ознаки характеризуються рівномірним рухом у відкритому руслі?


  2. Як ураховується неоднорідна шорсткість по периметру русла при розрахунку коефіцієнта Шезі?

  3. Які фактори впливають також на значення коефіцієнтів Шезі?

  4. Що називається допустимою швидкістю, що не розмиває, й допустимою незамулюючою середньою швидкістю в руслі?

  5. Що таке гідравлічна крупність наносів?

  6. Що таке транспортуюча здатність потоку?

  7. Як можна визначити незамулюючу швидкість у відкритому потоці?

  8. Які основні типи завдань розглядають при розрахунку каналів?

  9. Укажіть співвідношення між основними характерними елементами русла, що розраховують, і русла з гідравлічним найвигіднішим профілем?

  10. Які характеристики живого перерізу каналу трапецієвидного, параболічного й сегментного перерізу гідравлічно найвигіднішого профілю?

  11. Як розраховують канали в завданнях різного типу?

ТЕМА 3. ГІДРАВЛІЧНО НАЙВИГІДНІШИЙ ПЕРЕРІЗ КАНАЛІВ

3.1. Гідравлічно найвигідніший переріз каналу
Витрата у відкритому каналі або лотку може бути виражена формулою (3.1)

. (3.1)

З урахуванням залежностей

R=?/x, W=1/nRz,

де x - змочений периметр.

Русла різної форми поперечного перерізу при однаковій площі ? мають різний змочений периметр і, отже, гідравлічний радіус R= ?/? (рис.3.1)

При заданих ухилі i, площі перерізу ?, коефіцієнті шорсткості n найбільша витрата буде в руслі, що має максимальний гідравлічний радіус або мінімальний змочений периметр. Перерізи таких русел називають гідравлічно найвигіднішими. Можна по-іншому сформулювати це визначення при заданій витраті Q, ухилі i і коефіцієнті шорсткості n – він має найменшу площу живого перерізу.


На споруди каналів, що мають гідравлічно найвигідніший переріз, використовують мінімум земляних робіт і мінімум робіт зі зміцнення дна й берегів.

Найбільш вигідним перерізом є напівкруглий, тому що в цьому випадку при заданій площі буде найменший змочений периметр. На практиці частіше роблять трапецієвидні або параболічні перерізи.

Для визначення гідравлічно найвигіднішого перерізу необхідно знайти величину максимального гідравлічного радіусу. Помножимо й розділимо праву частину рівняння (3.1) на Rz і після перетворень одержимо:

, (3.2)

де ?=?/Rz.

Для гідравлічно найвигіднішого перерізу:

R = Rmax, ? = ?min = ?г.н. (3.3)

Тоді формула (3.2) має вигляд:

, (3.4)

Rmax = . (3.5)



Рис. 3.1 – Форми гідравлічно найвигідніших перерізів штучних каналів

Таким чином, для визначення Rmax необхідно крім витрати Q, ухилу i і коефіцієнта шорсткості n знати величини ? і показник степеня z.

Певні значення показника z за формулою (3.4) і ?=1/nRz наведені в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1. - Деякі значення показника ступеня z.

n

Значення Z 0,1 – 0,5


при R, м

0,51 - 1

1 – 2

2 - 3

0,011 – 0,016

0,65

0,65

0,65

0,65

0,0165 – 0,017

0,7

0,65

0,65

0,65

0,0175 – 0,018

0,7

0,7

0,65

0,65

0,019 – 0,02

0,7

0,7

0,7

0,65

0,021 – 0,0225

0,7

0,7

0,7

0,7

0,025 – 0,0275

0,75

0,75

0,7

0,7

0,030 – 0,04

0,8

0,8

0,75

0,75


При незмінному R значення z задають у межах, що відповідають заданому значенню коефіцієнта шорсткості n.

Величина ?г.н. залежить від форми перерізу русла.

Так, наприклад, для сегментного русла гідравлічно найвигідніше значення ?г.н.=?min і відповідає півколу, коли ?= d/8,


а R=?/x= d2/8 d=d/4.

При відомому ?г.н. за формулою (3.5) визначаємо Rmax.

Для спрощення розрахунків Rmax знаходимо за спеціальними таблицями залежно від значень Qn/ ?г.н. і осредненних z і за графіком, побудованим згідно залежності

Rmax=f(Qn/ ?г.н. ,z) (3.6)
3.2. Визначення нормальної глибини потоку
Нормальною або побутовою глибиною протікання потоку h називається глибина рівномірного руху в даному конкретному руслі при відповідній розрахунковій витраті.

При визначенні нормальної глибини заданими є: форма й розміри поперечного перерізу, поздовжній ухил дна i, стан (коефіцієнт шорсткості n) поверхні дна й стінок русла, а також розрахункова витрата Q.

Нормальна глибина не може бути встановлена безпосередньо, аналітичним шляхом, з основного рівняння або основних формул рівномірного руху. При її визначенні доводиться прибігати до універсального, але досить кропіткого способу підбора або використовувати наближені методи вирішення, допоміжні графіки або таблиці, звертатися до ЕОМ.

Спосіб підбора застосуємо при визначенні нормальної глибини в руслі будь-якого поперечного переріза. При цьому задають глибинами h1, h2,…hm, обчислюють відповідні їм значення площі живого перерізу потоку ?, змоченого периметра x, гідравлічного радіуса R, знаходять (за таблицями) значення швидкісних характеристик W і підраховують витратні характеристики K=?W, які порівнюють із розрахунковим значенням витратної характеристики.


Ko = Q/. (3.7)

Якщо Km=Ko, то шукана нормальна глибина ho = hm.

Підбір значно можна спростити побудовою графіка витратних характеристик. За декількома довільними значеннями глибин будують графік залежності K = f(h) (рис.3.2), за яким знаходять глибину, що відповідає розрахунковій характеристиці Ko.

Нормальну глибину можна знайти, використавши так званий «показовий закон», відповідно до якого

K2/K1=(h2/h1)х1, (3.8)

де x1 – гідравлічний показник русла.

Задавшись двома довільними глибинами h1 і h2, підраховують відповідні їм значення витратних характеристик К1 і К2 і визначають гідравлічний показник русла

x1=(lg2/K1)/lgh2/h1 (3.9)

h, м

К, м3/сек

Рис. 3.2 – Графік залежності K = f(h)

Знаючи розрахункове значення витратної характеристики Ko, шукану нормальну глибину можна знайти за залежністю

ho = h1(Ko/K1)1/х1. (3.10)

Найпоширеніший поперечний переріз відкритих русел - трапецієвидний.

Досить ефективно для визначення нормальної глибини використовують ЕОМ.

Із цією метою загальну залежність для визначення витрати при рівномірному русі вирішимо щодо нормальної шуканої глибини.


Q=wW . (3.11)

Позначивши відносну ширину русла по дну

B/ho = ?. (3.12)

Будемо мати: площа живого перерізу

? = (b+mho)h = (?+m)h2o . (3.13)

Змочений периметр

x=b+2ho = (?+2) ) h2o . (3.14)

Швидкісну характеристику

W=1/nRz=1/n(?/x)z = 1/n((?+m)/?+2 )z hzo . (3.15)

Витрата

Q = (?+m)1/n((?+m)/(?+2 ))z hzo . (3.16)

Отже, шукана глибина рівномірного руху

ho = [Qn/ ((?+2 )/(?+m))z 1/?+m]1/2+z.. (3.17)

Звідси ho знаходимо методом послідовних наближень у такій послідовності.


  1. Задаються будь-яким значенням глибини h1.
  2. Визначають відношення ?=b/h1.


  3. Обчислюють h2 у другому наближенні.

  4. Якщо |h2 – h1|, де E – наперед задана точність визначення ho, то розрахунок закінчений. У противному випадку обчислюють ?2=b/h2 і розрахунок повторюють, починаючи з п.3. Розрахунок триває доти, поки наступає нерівність |hn+1 – hn|

  5. Визначивши ho, знаходять площу живого перерізу потоку

?o=(b+mho)ho і середню швидкість Vo=Q/?o.
3.3. Розрахунок русел трапецієвидного поперечного перерізу
На співвідношеннях, отриманих для русел гідравлічно найвигіднішого профілю, заснований спосіб визначення нормальної глибини протікання й інших елементів потоку з використанням відносних характеристик живого перерізу.

Установимо залежність геометричних характеристик русел, що відрізняються від гідравлічно найвигідніших, від максимального гідравлічного радіуса Rmax. З цією метою розділимо всі члени рівняння

w – wR/n=(2 – m)h/R, (3.18)

?г.н. = mo=8 – 4m, (3.19)

запишемо в такому вигляді

1 – R/ho – ho/R ?г.н/w=0, (3.20)

З обліком (3.2) і (3.5) одержимо:

?г.н/?=(R/Rmax) . (3.21)

Помножимо вираження (3.20) на Rmax/ho.

Будемо мати: (Rmax/ho) – Rmax/hoR+1/4(R/Rmax)=0 (3.22)


Введемо такі позначення:

відносна глибина потоку - h=ho/Rmax, (3.23)

відносний гідравлічний радіус - r=R/Rmax , (3.24)

відносна ширина живого перерізу по дну - b=b/Rmax , (3.25)

відносна площа живого перерізу - ?=?/?г.н. , (3.26)

З врахуванням зазначених відносних величин вираження (3.22) можна записати:

. (3.27)

Вирішуючи це рівняння відносно h, знаходимо нормальну глибину

h = . (3.28)

Кожному значенню R у загальному випадку можуть відповідати два значення ho. Одне виходить при R = Rmax, тобто при R = 1 у цьому випадку русло є гідравлічно найвигіднішим і ho=2Rmax, тобто R<1, то при знаку «+» перед коренем ho<2R русло розширене, а при знаку «-» ho>2R, що відповідає названому перерізу.

Використовуючи дані таблиць «Основні геометричні співвідношення для каналів трапецієвидного поперечного перерізу», в яких площа менш чим на 5% відрізняється від мінімальної, можна вважати областю гідравлічно найвигідніших перерізів. Ці таблиці дозволяють при відомій одній із чотирьох величин b, ?, ho, R віднести її до Rmax і знайти три інші. Наприклад, якщо задано ширину русла по дну b=B/R, і знайшовши близькі до обчислених її значень для заданого коефіцієнта закладення укосів m, одержимо у відповідному рядку R, h, ?, знаходимо:

Гідравлічний радіус R= R·Rmax . (3.31)


Нормальну глибину потоку ho = h·Rmax . (3.32)

Площа живого перерізу ?= ??г.н.Rmax . (3.33)
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ


  1. Які перерізи називають гідравлічно найвигіднішими?

  2. Наведіть формулу визначення максимального гідравлічного радіусу?

  3. Яка глибина називається нормальною?

  4. Які ви знаєте методи визначення нормальної глибини потоку?

  5. Приведіть показовий закон для визначення нормальної глибини потоку?

  6. Наведіть метод визначення нормальної глибини потоку з використанням відносних характеристик живого перерізу?

ТЕМА 4. РОЗРАХУНКИ РУСЕЛ ЗАМКНУТОГО ПЕРЕРІЗУ


    1. Обчислення геометричних елементів русел замкнутого перерізу при безнапірному русі


У
B
круглих безнапірних каналізаційних трубах (рис.4.1) рівномірний рух води аналогічний рівномірному руху води у відкритих руслах.



Рис. 4.1 – Безнапірний рух рідини в круглих трубах замкненого перерізу

Витрату визначаємо за формулою:

Q = ?W, (4.1)

де W – швидкісна характеристика.

А швидкість визначаємо за формулою:

V = W (4.2)

Для спрощення розрахунків геометричні й гідравлічні характеристики потоку можуть бути виражені залежно від радіусу труби й ступеня її наповнення h/2

? = ?'r, (4.3)

? = ?'r, (4.4)

R = ?/? = ?'r/?'r = R'r, (4.5)


де відносні величини ?, ?, R залежать від ступеня наповнення й наведені в таблицях з врахуванням залежностей (4.2), (4.5) і швидкісної характеристики W=1/nRZ представимо вираження для середньої швидкості в трубі у вигляді:

, (4.6)

де R' - значення R при повнім наповненні труби,

Rn - гідравлічний радіус у цьому ж перерізі, тому що n = Wn/Xn= r/2 = D/4, то Rmax = 0,5 швидкісна характеристика при повному наповненні визначається за формулою:

, (4.7)

де B' - відносна швидкісна характеристика, B' = (R'/R'n)z залежить від ступеня наповнення й показника ступеня z.

При повному наповненні труби R' = R'n і В' = 1. Для чавунних, сталевих, азбестоцементних, залізобетонних труб і водоводів при коефіцієнтах шорсткості рівних 0,011 - 0,017 можна приймати середний показник ступеня z=0,67 і тоді

B' = (R'/R'n)Z , (4.8)

А швидкість у трубі:

V=B' Wn . (4.9)

За формулою (4.7) можуть бути підраховані значення швидкісної характеристики труби Wn при повному наповненні для різних діаметрів і матеріалів труб.

Витрата в безнапірній трубі визначається за формулою:

Q = ? W =?' r2 B' Wn Wn/W'n =, (4.10)


A = ?'B'/?n , (4.11)

Kn = ?n r2 Wn , (4.12)

де А - відносна витратна характеристика, що залежить від ступеня наповнення труби;

Кп – витратна характеристика труби при повному її наповненні, що залежить від діаметра або матеріалу труби.

З врахуванням вищевикладеного:

Q = AKn . (4.13)

Значення відносних швидкісних характеристик В' і А обчислених за формулами (4.8) і (4.9) залежно від наповнення труби, можна бачити на графіку (рис.4.2)

1,0

0,8
0,6 А

В’

0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Рис. 4.2 - Значення відносних швидкісних характеристик

В' і А


    1. Особливості руху води в руслах замкнутого перерізу

Досліди ряду дослідників показали, що витрата й швидкість при більших наповненнях труби виходять значно меншими, чим обчислені за формулами (4.9), (4.13). При цих дослідах діаметри труб змінювалися в межах 200-400 мм, а коефіцієнт шорсткості в межах 0, 0105-0,013 при довжині труби 40 м, що забезпечувало встановлення рівномірного руху й достатню надійність результатів. Відхилення дослідних даних від обчислених за формулами можна пояснити тим, що для замкнутих перерізів формула Павловського Н.Н. W=1/nRZ для швидкісної характеристики W не відображає досить вірно умови протікання води при рівномірному русі. В замкнутих перерізах при зростанні глибини h, починаючи з деяких значень, зменшується ширина русла по верху В і гідравлічний радіус R. Для інших перерізів це не відбувається.


З обліком вищевикладеного, швидкість і витрата в безнапірній трубі треба визначати за формулами:

V = BWn , (4.14)

Q = A Kn . (4.15)

Каналізаційні труби працюють у перехідній області опору. У цьому випадку швидкісну характеристику при повнім наповненні труби Wn можна визначити за формулою:

Wn = . (4.16)

Число Рейнольдса Re = 4RV/? застосовують з урахуванням кінематичної в'язкості стічних вод.

Таблиця 4.1. Кінематична в'язкість стічних вод, см/с

Температура

Значення при кількості зважених речовин, мг/л

0

100

200

400

600

5

0,0152

0,0168

0,0184

0,02

10

0,0131

0,0135

0,0139

0,0143

15

0,0115

0,0116

0,0118

0,0119

20


0,0101

0,0102

0,0103

0,0104

25

0,009

0,0091

0,0091

0,0092

Витратну характеристику при повному наповненні визначають Кп = ?пWп.


    1. Припустимі наповнення й швидкості у водовідвідних трубах


При розрахунку труб дощового водовідведення допускається повне наповнення труби, а в трубах для відведення промислових і побутових стічних вод ступінь наповнення не допускається більше ho/2 = 1,6 при діаметрах труб D>900мм, а для менших діаметрів розрахунковий ступінь наповнення приймається в межах 1,2 - 1,5.

Мінімальні середні в перерізі швидкості Vmin, при яких відбувається замулювання водовідвідних труб, називаються швидкостями, що самі очищають. Мінімальні припустимі швидкості визначаємо за формулою С.В. Яковлєва:

Vmin = 12,5Vг.к.R, (4.17)

або за формулою Н.Ф. Федорова

Vmin = 1,57 Rm , (4.18)

де R - гідравлічний радіус, м;

Vг.к.- гідравлічна крупність зважених часток, м/с;

m - показник степеня, дорівнює 3,5+0,5R.

Максимальні припустимі швидкості приймають із умови недопущення руйнування труб; для металевих Vдоп = 8 м/с, для неметалічних Vдоп = 4м/с.
4.4. Основні типи завдань при розрахунку каналів
Основні типи завдань при розрахунку каналів:
  1. Задано всі елементи живого перерізу, а також m, n. Необхідно знайти витрату Q і середню швидкість V.


1а) Задані витрата Q, лінійні розміри, m і n. Необхідно знайти ухил i.

Вирішення завдань цього типу проводять прямою підстановкою обчислених w, R, c у формули - Q=wo Сo Ro .

  1. Задані Q, m, n, i один з геометричних елементів живого перерізу (b або h для трапецієвидного перерізу й р і h для параболічного). Необхідно знайти інший лінійний елемент живого перерізу, а потім середню швидкість V.

Вирішення ведуть за допомогою підбора. Задаємося декількома значеннями невідомого параметра, для кожного зі значень знаходимо згідно рівняння Шезі витрату Q. Знайшовши витрату, рівну заданій, тим самим визначимо невідомий лінійний елемент. Розрахунок можна вести з побудовою графіка залежності витрати від невідомого геометричного елемента. Середню швидкість визначають просто. Завдання щодо відшукання ширини трапеції по дну при невдалому завданні h можуть не мати рішення.

  1. Відомі Q, i, m, n. Необхідно знайти розміри елементів живого перерізу й середню швидкість V.

Невизначеність таких завдань нейтралізують введенням у них додаткових умов:

а) канал повинен бути гідравлічно найвигіднішого профілю для трапецієвидного або Bг.н.=1,8856 для параболічного перерізу;

б) канал повинен мати задане відношення В = b/h для трапецієвидного або b/h для параболічного перерізу.

У практиці проектування відносна ширина по дну земляних каналів часто приймається близькою до ? за формулою С.А.Гришкана, отриманою за натурними даними в каналах зрошувальних систем, при витратах у них до 250 м3/с:

?г.н. = 3 (4.19)

очевидно, що коефіцієнт у формулі розмірний.

Ці додаткові умови допомагають звести вирішення цих завдань або до використання рівняння Шезі або до підбора.


Наприклад, для трапецієвидного перерізу підстановка b = ?·h дозволяє виразити

w=(?+m)h2,

x= b+2h =h(?+2 );

R=(?+m/?+2 )h;

Q=h2,5+y/n(?+m)(?+m/?+2 )0.5+y.

Далі визначають h, потім b і V.

4. Відомі Q, V, i, m, n. Необхідно знайти елементи живого перерізу.

Для трапецієвидного перерізу при відомому R знайдемо b і h із системи рівнянь

W = Q/v = (b+mh)h,

X = b+ 2h. (4.19)

Для параболічного перерізу р и h визначають підбором із системи:

w=Q/V=4/3h 2p h,

x=p 2 (1+2 )+ln( 2 + ? +2 ). (4.20)

Можуть зустрічатися й деякі проміжні види завдань.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ


  1. Від яких параметрів залежить нерозмиваюча середня швидкість потоку?

  2. Які ви знаєте основні типи задач при розрахунку каналів?

  3. Яким методом вирішують задачі при розрахунку каналів?

  4. За якою формулою іноді визначають відносну ширину по дну каналу?

ТЕМА 5. НЕРІВНОМІРНИЙ РУХ У ВІДКРИТИХ РУСЛАХ
5.1. Основні поняття й визначення
Нерівномірний рух - це рух, при якому швидкості часток рідини змінюються уздовж їхньої траекторії.

У відкритих руслах нерівномірний рух спостерігається, коли ширина або глибина потоку, або одночасно й те й інше по довжині русел є величинами змінними.


Ширина й глибина потоку змінюються в зв'язку зі зміною поздовжнього ухилу русла, пристроєм різних споруд (греблі, мости), що стискують русло. Нерівномірний рух у відкритих руслах може бути викликаний зміною шорсткості русла.
5.2. Питома енергія перерізів, критична глибина
Питому енергію потоку визначаємо за формулою, виведеною Бернуллі для елементарного струмка:

Z + p/? +V2/2g = const. (5.1)

Це рівняння являє собою кількість енергії, укладеної в частці рідини, що по вазі дорівнює одиниці і переміщується в елементарному струмку

Z + p/? + V2/2g = Э. (5.2)

Це рівняння виражає питому енергію потоку.

Питома енергія - це енергія рідини, що рухається, віднесена до одиниці її ваги й до умовної горизонтальної площини, кількісно дорівнює напору.

Для живого перерізу при русі у відкритому руслі, що плавно змінюється Z + p/? = const.

Якщо площина порівняння проходить через найбільш знижену точку живого перерізу (рис.5.1), то тоді z+p/? = h і отже,

Эо = h+ V2/2g (5.3)

В
dh

P/? g

М

Z h

01 01

a

0 0

Рис. 5.1 – Переріз русла при нерівномірному русі рідини

Питома енергія (Эо), яка визначена відносно площини порівняння, що проходить через щонайнижчу точку живого перерізу, називається питомою енергією перерізу, а рівняння 5.3 показує залежність питомої енергії перерізу (Эо) при постійній витраті (Q = const) від глибини h.

При збільшенні h перший член рівняння, що представляє питому потенційну енергію збільшується (енергія положення), а другий, що представляє величину питомої кінетичної енергії зменшується. Глибина потоку при Q = const може змінюватися в межах від 0 до ?.

Зміна величини питомої енергії перерізу залежно від глибини h визначається зміною функції Эо = f(h).Для цього візьмемо першу похідну від Эо по h і дорівняємо її до нуля.

Эо = h+ ?V2/2g = h+? Q2/2gw2. (5.4)

При h?0, відповідно до рівняння (5.3), питома енергія перерізу Эо?0.

Якщо побудувати криву Эо = f(h) у прямокутних осях координат, відкладаючи по осі ординат h, а по осі абсцис Эо, то ця крива асимптотично наближається до осі абсцис. При h?0 питома енергія перерізу Эо?0. Однак, площа поперечного перерізу швидше прагне до 0 і тому при досить більших h рівняння прагне до рівняння Эо = h, тобто до прямої, що виходить з початку координат під кутом 450 до осей. Ця пряма є другою асимптотою кривій Эо = f(h).
h

h

hкр
Экр Э

Рис. 5.2 – Зміна величини питомої енергії перерізу залежно від глибини

Функція Эо = f(h) має екстремум, для визначення якого знаходимо першу похідну функції, дорівнюємо її до нуля, а потім установимо знак другої похідної

, (5.5)

d/dh = B, B - ширина дзеркала води при глибині h.

Тоді . (5.6)

Взявши другу похідну від Эо по h, одержуємо:

о/dh > 0. (5.7)

Отже, функція Эо = f(h) має мінімум, а глибина, при якій питома енергія перерізу мінімальна визначається з рівняння (5.6). Ця глибина називається критичною й позначається hк. Всі гідравлічні елементи при цій глибині позначаються індексом к. Таким чином, при Эо = min відповідно до рівняння (5.6)

. (5.8)
5.3. Бурхливий і спокійний стан потоку, критичний ухил
Для обчислення критичної глибини в трапецієвидних руслах можна скористатися даними таблиць.

Визначення величини h обчислюємо функцію К(h), при цьому:

К(h)= (Q/b)2(m/b). (5.9)

Маючи значення ДО(h) по таблицях можна обчислити безрозмірну величину, а чисельне значення h

h = B/m. (5.10)
Якщо глибина потоку h1 менше hк, то потік рухається з досить великими швидкостями; такий стан потоку називається бурхливим; при глибинах потоку h2 більше hк, потік рухається з відносно малими швидкостями й стан потоку при цьому називають спокійним.

Якщо нормальна глибина в каналі дорівнює критичній, то поздовжній ухил такого каналу називається критичним і позначається через i.

Величину критичного ухилу можна одержати з рівняння Шезі для рівномірного руху і рівняння (5.8)

, (5.11)

. (5.12)


Визначимо з обох рівнянь Q і, дорівнявши їх, одержимо:

. (5.13)

Після скорочення на Wк

, (5.14)

Wк/Rк = Xк,

. (5.15)

Для широких і неглибоких каналів вважають, що Xk = Bk, тоді

. (5.16)

При io = ik ho=hk;

При iok ho>hk;

При io>ik ho