reforef.ru 1





Потапенко Е.М.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ


Конспект лекций

Запорожье

ЗНТУ

2006

ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на то, что системы управления давно внедряются в производство и быт, многие процессы остаются нерегулируемыми или регулируются неоптимальным образом. В частности, до недавнего времени процессы водоснабжения, канализации, вентиляции регулировались вручную путем открытия и закрытия заслонок. Внедрение автоматического регулирования перечисленных процессов за счет изменения скорости вращения насосов, вентиляторов приводит к уменьшению электропотребления на 50…60 %.

В настоящее время возможности повышения точности технологических процессов за счет усовершенствования самих технологических процессов во многих случаях исчерпаны. Повышения точности можно добиться за счет совершенствования систем автоматического управления (САУ).

К настоящему времени разработано большое количество различных принципов управления, улучшающие те или иные показатели технологических процессов. Данный курс лекций состоит из четырех разделов:

  1. Линейные непрерывные САУ.

  2. Линейные дискретные САУ.

  3. Нелинейные САУ.

  4. Элементы современной теории управления.

0. Общие сведения о системах управления.
Курс теории автоматического управления (ТАУ) изучает общие принципы построения систем автоматического управления (САУ) процессы, протекающие в этих системах, а также методы исследования этих процессов.

Принцип действия и функциональная схема САУ.




Р


Рисунок 0.1.Функциональная схема системы управления скоростью вращения ротора электродвигателя.

На рис. 1

ПУ — программное устройство, вырабатывающее сигнал uп (программное), соответствующий желаемому значению скорости вращения электродвигателя ,


СУ — сравнивающее устройство, осуществляющее математическую операцию x=uп-uдс,

ДС
— датчик скорости электродвигателя ЭД,

uдс — сигнал, пропорциональный скорости ,

х` — сигнал, связанный с ошибкой системы,

СРП — счетно-решающий прибор, который может быть выполнен в виде аналоговой или цифровой вычислительной машины, вырабатывает управляющие напряжения u, в который заложен алгоритм (закон управления),

У
— усилитель мощности,

U
усиленный управляющий сигнал,

ЭД
— электродвигатель,

Р
— редуктор,

И
— инструмент.

ДН
— датчик нагрузки Fн,

uн — сигнал, пропорциональный нагрузке Fн.

Цепь, содержащая ДС, является обратной связью (ОС).

Обратной связью называется цепь, соединяющая выход какого-либо звена с его входом или непосредственно или посредством других звеньев.

Пунктирная цепь не является обратной связью, т.к. ОС обеспечивает циркуляцию сигнала по замкнутому контуру.

На рис. 2 представлены переходные процессы при разгоне и торможении двигателя.



Рисунок 0.2. Переходные процессы при разгоне и торможении.

Переходные процессы стремятся к постоянным значениям за счет действия отрицательной обратной связи.

Автоматическим управлением называется поддержание постоянной или изменение по заданному закону регулируемой переменной () при помощи измерения состояния объекта регулирования и (или) действующих на него возмущений и воздействия на регулирующий орган объекта (ЭД).

На рис. 1 изображена функциональная схема САУ, она состоит из двух частей: объекта регулирования и регулятора.

Объектом управления называется объект, в котором происходит процесс, подлежащий управлению (ЭД+Р+И), всё остальное называется регулятором.

Как объект регулирования, так и вся САУ подвержены внешним воздействиям.

Величины, выражающие внешние влияния на объект, называются воздействиями на объект (U, fн, fтр). Воздействие, вырабатываемое управляющим устройством (регулятором), называется управляющим воздействием (U). Воздействие на объект, не зависящее от регулятора, называется возмущением (fн, fтр).

Возмущения подразделяются на нагрузку (fн) и помехи (fтр).

Переменные, подлежащие управлению (регулированию), называются управляемыми (регулируемыми) переменными.

Функциональной схемой называется такое графическое изображение САУ, в котором каждому звену соответствует вполне определённый функциональный блок.

Помимо функциональной схемы, САУ графически представляют в виде структурных схем.

Структурной схемой называется такое графическое изображение САУ, в котором каждому звену соответствует вполне определённая совокупность математических операций.

0.1 Классификация САУ

0.1.1 Классификация САУ по принципу действия.

САУ подразделяются на


  • разомкнутые;

  • замкнутые;

  • комбинированные.

В разомкнутых САУ управляющее воздействие задаётся на основании цели управления, характеристик объекта и известных внешних воздействий, но без учёта истинного значения управляемой переменной. Если на рисунке. 1 разорвать ОС, то получится разомкнутая САУ. Она будет разомкнутой как при наличии, так и при отсутствии пунктирной цепи. Поскольку в этих САУ осуществляется компенсация известных внешних возмущений, то этот принцип управления называется управлением по возмущению.


В замкнутых САУ управляющее воздействие формируется в непосредственной зависимости от управляемой переменной. Этот принцип управления называется управлением по отклонению (х`). Если на рис. 1 разорвать пунктирную связь, то получится система с управлением по отклонению.

Если одновременно используются оба принципа управления (по возмущению и отклонению), то такая система называется системой комбинированного принципа действия (комбинированной системой). Комбинированной является вся система на рисунке 1.

0.1.2 Классификация по характеру изменения выходной переменной. САУ подразделяются на


  • системы стабилизации;

  • системы программного регулирования;

  • следящие системы.

Системой стабилизации называют такую САУ, которая поддерживает постоянное значение управляемой переменной (uп=const).

Системой программного регулирования называется такая САУ, которая изменяет выходную переменную по заранее заданному закону uп.

Следящими называются такие САУ, которые воспроизводят изменение управляемой переменной в соответствии с изменением задающего воздействия с неизвестным законом изменения.

0.1.3 Классификация по математическому описанию. САУ состоит из ряда звеньев. У каждого звена может быть одно или несколько входных воздействий (входные переменные) и одно или несколько выходных переменных. Каждое звено описывается алгебраическими и (или) дифференциальными, и (или) разностными уравнениями. Если подать на звено входной сигнал, то в выходном сигнале возникает переходный процесс. Если звено устойчивое, то при постоянном входном сигнале через некоторое время устанавливается постоянный выходной сигнал. Зависимость выходного сигнала от входного в установившемся режиме называется статической характеристикой данного звена.


Основными признаками классификации являются:


  1. непрерывность или дискретность динамических процессов во времени;

  2. линейность или нелинейность уравнений, описывающих динамику процессов в звеньях.

Системой непрерывного действия называется такая САУ, в каждом звене которой при непрерывном входном воздействии, выходная переменная также является непрерывной.

Ниже приведены статические характеристики непрерывных звеньев.


Рисунок 0.3. Примеры статические характеристик непрерывных звеньев. х, у – входной и выходной сигналы.

Дискретной называется такая САУ, в которой имеется хотя бы одно звено, у которого при непрерывном входном сигнале, выходной сигнал имеет вид последовательности импульсов. Такое звено называется импульсным.(Рис. 0.4).

Линейной называется САУ, в которой в каждом звене имеется линейная зависимость между входным и выходным сигналами.

Нелинейной называется САУ, в которой имеется хотя бы одно звено с нелинейной зависимостью между входным и выходным сигналами.

Особым классом нелинейных систем являются релейные системы.


Рисунок 0.4. Импульсное звено. х, у – входной и выходной сигналы.
Релейной называется такая САУ, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной переменной, выходная переменная в некоторых точках процесса, зависящих от значения входной переменной, изменяется скачком.




Рисунок 0.5. Примеры статические характеристик релейных звеньев. х, у – входной и выходной сигналы.

1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Линеаризация нелинейных уравнений


На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект мал, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называется линеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

z=x·y. (1.1.1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

z=z0 , x=x0 , y=y0 . (1.1.2)

В установившем режиме

z0=x0*y0. (1.1.3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

z=z0+z , x=x0+x , y=y0+y. (1.1.4)

Предполагается что z, x, y на порядок меньше z0, x0, y0.

Подставим (4) в (1). Тогда

z0+z=(x0+x)(y0+y)=x0y0+x0y+xy0+xy. (1.1.5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.


Вычтем из (5) (3). Получим

z=x0y+xy0. (1.1.6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных z, x, y.

Геометрический смысл линеаризации представлен на рис 1.1.1.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О1, и переходу от переменных х, у к новым переменным x;y. В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в т. О1



x

Рисунок 1.1.1. Геометрический смысл линеаризации.

1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений

Пусть дано уравнение

a0я + a1+ a2y = b0x + b1+ cf, (1.2.1)

.

Введём обозначение оператора дифференцирования . Тогда

=pу, =p2y, =p3y. (1.2.2)

Найдем оператор интегрирования или = х, или py = x, откуда .


— оператор интегрирования.

Запишем уравнение (1) в операторном виде

(a0p2+a1p+a2)y=(b0+b1p)+cf. (1.2.3)

Первая форма записи

В первой форме выходная переменная записывается в одной части уравнения, а входные переменные в другой части уравнения, причём коэффициент при самой выходной переменной ( у ) должен быть равен единице. Введем обозначения

.

Тогда уравнение (1) и (3) перепишутся в виде

T12+T2+y=m0x+m1x+nf, (1.2.4)

(T12p2+T2p+1)y=(m0+m1p)x+nf. (1.2.5)




D(p)
В первой форме записи коэффициенты Т1, Т2 при любых физических переменных у имеют размерность времени. Это обеспечивает универсальность данной формы записи.

Коэффициенты m0 , m1, n называют коэффициентами передачи. Если коэффициенты m0 , n безразмерные, то они называются коэффициентами усиления. Коэффициенты Т1, Т2 называются постоянными времени. Коэффициент Т1, стоящий при старшей производной, характеризует инерционность звена, чем больше Т1 , тем более инерционные процессы.


Вторая форма записи

Решим уравнение (5) относительно выходной переменной у

y=y1+y2=W1(p)x+W2(p)f, (1.2.6)

где

(1.2.7)

y1=W1(p)x , y2=W2(p)f , (1.2.8)

(1.2.9)

W1,W2 — передаточные функции.

Передаточная функция равна отношению выходного сигнала к входному. Если использовать преобразование Лапласа, то передаточная функция равна отношению преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция показывает какие математические операции надо проделать с входным сигналом, чтобы получить выходной сигнал. Уравнение (6) представляет собой вторую форму записи дифференциального уравнения (1), то есть запись через передаточные функции.

Вторая форма записи позволяет представить дифференциальное уравнение и системы дифференциальных уравнений в графическом виде. Для этого вводятся следующие графические обозначения:
Сумматор Компаратор

Рисунок 1.2.1.

Уравнение (6) в графическом виде будет выглядеть так:



Рисунок 1.2.2. Структурная схема уравнения (1).

1.3 Классификация динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определённым дифференциальным уравнением. Под типовым динамическим звеном понимают звено, которое описывает дифференциальное уравнение не выше второго порядка. Звенья подразделяются на позиционные, интегрирующие и дифференцирующие. Позиционными называют звенья, у которых передаточная функция отвечает условию ,


то есть передаточная функция при р=0 равна константе, которая не равна нулю и плюс минус бесконечности.
Например:

.

Интегрирующим называется такое звено, у которого

.

Например:

.

Дифференцирующим называется такое звено, у которого

.

Например:

.

Основные типовые звенья

1. Позиционные звенья.

1.1 Безынерционное звено (усилительное звено)

.

1.2 Инерционное (апериодическое) звено первого порядка

.

1.3 Консервативное, колебательное, инерционное (апериодическое) звенья второго порядка

,

где

d — параметр затухания,

T —постоянная времени,

k — коэффициент передачи.

При d = 0 звено называется консервативным,

при 0d1 звено называется колебательным,

при d1 звено называется инерционным.

1.4 Форсирующее звено

.

2 Интегрирующие звенья.

2.1 Идеальное интегрирующее звено


.

2.2 Интегрирующее звено с замедлением

.

2.3 Изодромное звено (ПИ - регулятор)

,

.

3. Дифференциирущие звенья.

3.1 Идеальное дифференциирущее звено

.

3.2 Реальное дифференциирущее звено (звено с замедлением)

.