reforef.ru 1

Задание 1


Мебельная фабрика выпускает столы двух видов А и В. На изготовление одного стола вида А требуется 10 чел.-час, а на изготовление одного стола вида В – 7 чел.-час. Стоимость материалов для изготовления стола вида А равна 1 ден. ед., а для изготовления стола вида В – 3 ден. ед. Прибыль от одного стола вида А, так же как и вида В равна 1 ден.ед. На изготовление может быть затрачено в неделю как максимум 440 чел.-час. Недельные затраты материалов на изготовление столов не должны превышать 90 ден.ед. Найти такое количество столов каждого вида, которые необходимо изготовить за неделю, чтобы прибыль была максимальной. Составить математическую модель задачи.
Решение:

Пусть х1 - количество изделий столов вида А; х2 - количество столов модели В. Так как на изготовление каждого изделия модели А требуется 10 чел.-час., то для всех изделий этого вида потребуется 10х1 чел.-час. А на изготовление столов вида В потребуется 7 чел.-час, то для всех изделий модели В потребуется 7х2 чел.-час. Учитывая, что на изготовление столов в неделю может быть затрачено как максимум 440 чел.-час., то должно выполняться следующее ограничение на наличие сырья:



Далее нам известно, что на изготовление каждого стола модели А на стоимость материалов тратится 1 ден.ед., значит на все изделия модели А будет затрачено х1 ден.ед. А на изготовление каждого изделия модели В требуется 3 ден.ед., то на все изделия модели В будет затрачено 3х2 ден.ед. Известно, что на изготовление может быть затарачено максимум 90 ден. ед. Значит должно выполняться ограничение:

При этом прибыль от лдного стола модели А - 1 ден.ед, и модели В - 1 ден.ед за изделие. Значит общая прибыль, от произведенных столов: . Их прибыль должна быть максимальной, т.е. .


Значит, математическая модель задачи имеет вид:



Задание 2.

Решить графически:

(1)

Решение:

В декартовой системе координат х1Ох2 строим область допустимых решений системы линейных неравенств (1).

Для этого строим граничные прямые, соответствующие данным ограничениям-неравенствам.


Строим данные прямые по их уравнениях, которые имеют вид уравнений прямых в отрезках. Т.е. в знаменателе в этих уравнениях записаны длины отрезков, отсекаемых на осях координат Ох
1 и Ох2 соответственно:


Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравенства. В качестве пробной точки возьмем точку 0(0;0) и подставим ее координаты в каждое из неравенств.



Таким образом видим, что точка О(0;0) удовлетворяет первым четырем неравенствам задания. Значит, они определяют полуплоскость, содержащую точку О. Неравенство же определяет полуплоскость не содержащую точку О(0;0). Неравенства определяют первую координатную четверть.

Т.о. получили область допустимых решений - множество точек многоугольника ABCД.


Строим вектор для определения направления целевой функции. Перпендикулярно к нему проводим линию уровня: . Параллельным переносом прямой Z=0 находим крайнюю точку В, в которой целевая функция достигает своего минимума.

Найдем координаты этой точки из систем уравнений:



Таким образом, В(0;2/3).



Ответ: и достигается в точке В(0;2/3).

Задание 3.

На предприятии имеется возможность выпускать 3 вида продукции Пj (). Для этого используется 3 вида ресурсов Рi (). Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход ресурса i-го вида на единицу продукции j-го вида составляет (аij)единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна сj ден. ед. Требуется:

Симплексным методом найти план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход. Дать содержательный ответ, вскрыв экономический смысл всех переменных, участвующих в решении задачи;.

Сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель.

Используя решение исходной задачи и соответствие между переменным. Найти компоненты оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки yi*.


Указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он имеется.

с помощью двойственных оценок обосновать рациональность оптимального плана, сопоставив оценку затрат fmin израсходованных ресурсов и максимальный доход Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции.
Решение:

Оформим все исходные данные в идее таблицы.


Ресурсы

Выпускаемая продукция

Объем ресурсов

П1

П2

П3

Р1

15

20

25

1200

Р2

2

3

2,5

150

Р3

35

60

60

3000

Цена реализации

300


250

450




Пусть Х=(х1; х2; х3) – план выпуска продукции соответственно П1, П2, П3; Z – сумма выручки от реализации готовой продукции. Тогда математическая модель прямой задачи примет вид

(1)

Запишем эту систему в канонической форме:

(2)

Данную задачу решаем симплекс-методом:

Запишем исходные данные системы (2) в симплексную таблицу 1 и проведем ряд преобразований:

таблица 1




























симплексное отношение

БП

СБ

А0

х1

х2

х3

х4

х5


х6

 

300

250

450

0

0

0

 

х4

0

1200

15

20

25

1

0

0

48

х5

0

150

2

3

2,5

0

1

0

60

х6

0

3000

35

60

60

0

0

1

50

Z

0


-300

-250

-450

0

0

0

 

План не оптимален, так как в Z-строке все элементы отрицательны. Наибольшее из них по абсолютной величине -450– соответствует столбцу переменной х3. Этот столбец назначим разрешающим. Для определения разрешающей строки находим минимальное симплексное отношение:



Оно соответствует 1-ой строке, которая и будет разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент: 25

В базис вводим переменную х3, а выводим х4. Далее все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент; все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяем нулями; а все остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника. После всех преобразований получаем таблицу 2.


таблица 2




























симплексное отношение

БП


СБ

А0

х1

х2

х3

х4

х5

х6

 

300

250

450

0

0

0

 

х3

450

48

0,6

0,8

1

0,04

0

0

80

х5

0

30

0,5

1

0

-0,1

1

0

60

х6

0

120


-1

12

0

-2,4

0

1

 

Z

21600

-30

110

0

18

0

0

 

В Z-строке еще есть отрицательный элемент: – соответствует столбцу переменной х1. Он и будет разрешающим. Снова определяем разрешающую строку: находим минимальное симплексное отношение:



Оно соответствует 2-ой строке, которая будет разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент: 0,5.

В базис вводим переменную х1, а выводим х5. Далее проводя аналогичные преобразования получаем таблицу 3.

Таблица 3

БП

СБ

А0

х1

х2

х3

х4


х5

х6

300

250

450

0

0

0

х3

450

12

0

-0,4

1

0,16

-1,2

0

х1

300

60

1

2

0

-0,2

2

0

х6

0

180

0

14

0

-2,6

2

1

Z

23400

0

170

0

12


60

0

Т.к. в в Z-строке отрицательных оценок нет, то полученный план:

Х
*=(60; 0, 12; 0; 0; 180), Z*=z(x*)=23400 будет оптимальным.

Основные переменные х
1*=60; х2*=0; х3*=12 показывают, что продукцию П1 надо выпускать в объеме 60 единиц; а продукцию П2 выпускать нецелесообразно, продукцию П3 следует произвести 12 единиц. Дополнительные переменные х4*=0; х5*=0 показывают, что ресурсы Р1 и Р2 используются полностью, а вот равенство х6*=180 говорит о том, что именно столько единиц ресурса Р3 осталось неиспользованными.

Составим математическую модель двойственной задачи.

(4)

Соответствие между переменными прямой и двойственной задачи имеет вид:

х1


х2

х3

х4

х5

х6

y4

y5

y6

y1

y2

y3

Учитывая это соответствие, выписываем из Z-строки таблицы 3 компоненты оптимального плана двойственной задачи:

Y*=(12; 60; 0; 0; 170; 0), f*=f(y*)=23400.

Двойственные переменные показывают меру дефицитности ресурсов, они численно равны изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу. Следовательно, увеличение 1-го ресурса на единицу ведет к увеличению объема реализации на y*1=12; 2-го – на y*2=60. И так как y*2>y*1, то второй ресурс наиболее дефицитен, чем первый. Третий ресурс избыточен, поэтому его увеличение ни к чему не приведет, т.е. значение функции останется прежним (y*3=0).


Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую, согласно оптимальному плану, нецелесообразно выпускать. Следовательно, y*5=170 говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу производства продукции второго вида превосходит стоимость единицы этой продукции (с2=250) на y*5=170.

В самом деле:



Раскроем состав двойственных переменных, исходя из полученных данных (во втором столбце) таблицы 3:



Экономически, например, для y*1=12, это означает следующее: при увеличении 1-го ресурса на единицу выпуск продукции 1-го вида сократится на 0,2 и составит 60-0,2=59,8; выпуск продукции 3-го вида увеличится на 0,16 и составит 12+0,16=12,16. Следовательно, значение целевой функции изменится на



Аналогично для третьего ресурса:

Для y*3=60, это означает следующее: при его увеличении на единицу выпуск продукции 1-го вида увеличится на 2 и составит 60+2=62, выпуск продукции 3-го вида сократится на 1,2 и составит 12-1,2=10,8. Следовательно, значение целевой функции изменится на



Таким образом, управление дефицитными ресурсами позволяет варьировать выпуск рентабельной продукции, при этом увеличивая прибыль предприятия.

Таким образом, управление дефицитными ресурсами позволяет варьировать выпуск рентабельной продукции, при этом увеличивая прибыль предприятия.

Ответ: Продукцию П1 надо выпускать в объеме 60 единиц; П2 выпускать нецелесообразно; П3 следует произвести 12 единиц. При этом прибыль максимальна и составит Z*=23400


Задание 4:

В пунктах Аi () производится однородная продукция в количествах аi ед. Себестоимость единицы продукции в i-ом пункте равна сi. Готовая продукция поставляется в пункты Вj (), потребности которых составляют вj ед. Стоимости сij перевозки единицы продукции из пункта Аi в пункт Вj заданы матрицей [сij]3х4.

Требуется:


  1. методом потенциалов найти план перевозок продукции, при котором минимизируются суммарные затраты на ее изготовление и доставку потребителям, при обязательном условии, что продукция пункта, в котором себестоимость наименьшая, распределяется полностью.

  2. вычислить суммарные затраты fmin.

  3. установить пункты, в которых остается нераспределенная продукция, и указать ее объем.

Решение:

Исходные данные оформим в виде таблицы 1.

таблица 1

поставщики

потребители

запасы груза

В1

В2

В3

В4

А1

2


6

3

5

250

А2

8

7

10

5

550

А3

2

7

5

3

350

потребность в грузе

300

150

400

1
1000
50

1150


Заметим, что запасы груза превышают потребность в нем на 1150-1000=150 единиц. Имеем задачу открытого типа. Введем в рассмотрение «фиктивного потребителя» с нулевыми транспортными затратами, и с потребностью в 150 единицах груза.


таблица 2

 

В1

В2

В3

В4

ФП




 

300

150

400

150

150


А1

2

6

3

5

0

u1

250

-

-

250

-

-

А2

8

7

10

5

0

u2

550

-

150

150

100

150

А3

2

7

5

3

0

u3

350

300

-


-

50

-

 

v1

v2

v3

v4

v5




Строим опорный план методом минимального элемента. Находим в таблице клетку с минимальными затратами – у нас это клетка, например (2;5) с нулевыми затратами – ее загружаем полностью поставкой . Столбец ФП закрыт. Далее в таблице находим клетку со следующими по величине затратами – это клетка (3;1). Ее загружаем поставкой . Столбец В1 закрыт полностью. Следующей загружаем клетку (1;3) поставкой . Строка А1 заполнена полностью. Далее загружаем следующую по величине затрат клетку (3;4) поставкой . Строка А3 заполнена. Следующей заполняем клетку (2;4) поставкой . Столбец В4 закрыт полностью. После этого заполняем следующую по величине затрат клетку (3;2) поставкой . Таким образом заполнили столбец В2. И осталось заполнить клетку (3;3) поставкой .

У нас загружено m+n-1=5+3-1=7 клеток. Так что план невырожденный.

Проверим полученный опорный план на оптимальность. Для этого используем метод потенциалов. Составим систему для определения потенциалов.




Пусть , тогда

.

Теперь определим оценки свободных клеток по формуле:

Таким образом, получаем:



План не оптимален так как, оценка . Улучшим наш план, загружая клетку (3;3) поставкой . Таким образом получаем таблицу

таблица 3


 

В1

В2

В3

В4

ФП




 

300

150

400

150

150




А1

2

6

3

5

0


u1

250

-

-

250

-

-

А2

8

7

10

5

0

u2

550

-

150

150

100

150

А3

2

7

5

3

0

u3

350

300

-

50




-

 


v1

v2

v3

v4

v5




Проверим полученный опорный план на оптимальность. Для этого используем метод потенциалов. Составим систему для определения потенциалов.



Пусть , тогда

.

Теперь определим оценки свободных клеток по формуле:

Таким образом, получаем:



Так как все оценки положительны, то план найденный в таблице 3 оптимальный. Таким образом:



Таким образом, по оптимальному плану из 250 единиц продукции, произведенных в пункте А1, все 250 единиц направят в пункт потребления В3.

Пункт производства А2 произведет 550 единиц продукции и в пункт В2 отправит 150 единиц; в пункт В3 - 150; в пункт В4 - 100 единиц продукции. При этом на складе у поставщика А2 останется 100 единиц нераспределенной продукции, так как она, согласно оптимального плана, рассчитана на фиктивного потребителя.

Пункт производства А3 из 300 единиц произведенной продукции, отправит в пункт В1 все 300 единиц.

При этом затраты минимизируются и составят: fmin=250·3+150·7+150·10+100·5+300·2+50·5=750+1050+1500+500+

+600+250=4650 ден. ед.


Задача №5:

Найти точки условного экстремума функции:



Решение:

Составим функцию Лагранжа:



Находим все стационарные точки функции L из системы уравнений:



Так как

, то .

Значит, в точке А() функция имеет условный минимум.

И

Ответ:

Литература.


  1. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. - СПб.: изд-во "Лань", 2000 г.

  2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2004 г.

  3. Кузнецов А.В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие / А.В.Кузнецов, Н.И.Холод, Л.С.Костевич; Под общ. ред. А.В.Кузнецова. – 2-е изд., - Мн., Выш. шк., - 2001.

  4. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А.В.Кузнецов и др. – Мн., Выш. шк. – 2002.
  5. Экономико-математические методы и модели. /И.Л. Акулич, Е.И. Велесько, П.Ройш, В.Ф. Стрельчонок. - Мн.: БГЭУ, 2003.

  6. Унсович А.Н. Методическая разработка по высшей математике. Курс "Математическое программирование". - Барановичи: Баранович. укруп. тип., 2000.