reforef.ru 1




МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Е.Н. Аксенова

Элементарные способы оценки погрешностей

результатов прямых и косвенных измерений.

Утверждено

редсоветом института

в качестве учебного пособия

Москва 2003

УДК 531(076.5)

ББК 22.37я7

А42


Аксенова Е.Н. «Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений». Учебное пособие. – М.: Изд. МИФИ, 2003, 16 с.

Пособие отражает в предельно краткой форме простейшие методы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных физических измерений и их графического изображения.

Пособие предназначено для облегчения работы студентов 1ч5 семестров всех факультетов МИФИ по анализу физического практикума. Изложенный материал полезен любому начинающему

экспериментатору.

Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений.



§1. Прямые и косвенные результаты физического

эксперимента
Основная задача физического эксперимента – измерение физических величин для дальнейшего их анализа и установления взаимосвязей между ними – физических законов.

Измерения бывают прямые и косвенные.

В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно (например, измерение длины предмета линейкой, штангенциркулем или микрометром, силы тока – амперметром и т.д.).

При косвенных измерениях искомая величина не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других величин (например, измеряя силу тока и напряжение на зажимах электроплитки, можно вычислить ее тепловую мощность и сопротивление).

В физическом эксперименте любое измерение (прямое или косвенное) дает лишь приблизительное значение данной физической величины. Физика – наука естественная, а абсолютная точность присуща лишь математике.


Действительно, при измерении длины полученный результат будет зависеть, по крайней мере: 1) от точности выбранного нами прибора (штангенциркуль, например, позволяет измерять с точностью до 0,1 мм, а линейка до 1 мм); 2) от внешних условий: температуры, деформации, влажности и т.д.

Разумеется, результаты косвенных измерений, вычисленные по приближенным результатам, полученным в прямых измерениях, также будут приближенными. Поэтому вместе с результатом всегда необходимо указывать его точность, называемую абсолютной погрешностью результата ?.
Пример: L = (427,1  0,2) мм
Учитывая, что в учебных лабораториях кафедры общей физики число измерений не превышает 20, абсолютная погрешность результата ? должна после округления содержать лишь одну значащую цифру, если эта цифра не 1, если же 1, то следует оставить в погрешности две значащих цифры [1].

Значащими цифрами в десятичном изображении числа считаются все цифры, кроме нулей впереди числа

.
Пример:


Число

Кол-во значащих цифр

в нем

7000

4



3



1



1


1


Хотя с математической точки зрения все записанные числа тождественны, для физики это не так. Дело в том, что если значение физической величины записано без абсолютной погрешности (как, например, в условиях задач), то это означает, что данная величина задана с точностью до  1 в последнем, т.е. наинизшем, разряде.

Если приведенные выше числа представляют собой, например, длину в мм, то это означает, что длина известна со следующей точностью:

Результат L

известен с точностью до

мм

1 мм

мм

1 см

мм

1 м

мм

1 м

мм

1 м

Т.е. в этих случаях измерения проводились с различной точностью.

При записи результатов измерения физических величин (в частности, в лабораторных работах) недопустима запись результата без указания абсолютной погрешности, округленной, как указано, до одной или двух значащих цифр. Абсолютная погрешность ? имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Измеряемая величина округляется таким образом, чтобы ее последняя значащая цифра (цифра наименьшего разряда) соответствовала по порядку величины последней значащей цифре погрешности.

Примеры: L= 4,45  0,4 (не верно)  4,5  0,4 (верно)

L= 5,71  0,15 (верно)

L= 6,8  0,03 (не верно)  6,80  0,03 (верно)

L= 705,8  70 (не верно)  (71  7)* 10 (верно)
Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины к самому значению этой величины называется относительной погрешностью:



Относительная погрешность – величина безразмерная. Фактически относительная погрешность показывает степень неточности полученного результата (или «процентное содержание неточности», равное ·100%).

Итак, любая физическая величина всегда измеряется с определенной точностью, и записывать полученные результаты надо совместно с абсолютной погрешностью.


§2. Оценка абсолютной погрешности прямых

измерений
Погрешности в прямых измерениях можно классифицировать следующим образом:

Погрешности в прямых измерениях




случайные

систематические




приборные

промахи

погрешности разброса


Учесть,

корректируя результат


отбросить


класс точности прибора

цена делений

разброс экспериментальных значений при многократных измерениях



Выбрать (выбрать максимальную погрешность и принять ее за погрешность измеряемой величины)
Систематические погрешности (ошибки) обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Например, при переключении шкалы вольтметра с одного предела на другой меняется его внутреннее сопротивление, что может внести в последующие измерения систематическую погрешность. Систематические погрешности надо стараться отслеживать и учитывать, корректируя полученные результаты, т.е. исправляя их на необходимую величину. Однако обнаружение систематических погрешностей требует, как правило, дополнительных более точных или альтернативных экспериментов, проведение которых невозможно в рамках лабораторных работ. В этих случаях достаточно указать возможный источник ошибок.

Все остальные погрешности являются случайными.

Промахи - грубые ошибки, обычно они связаны с неправильным отсчетом по шкале прибора, нарушением условий эксперимента и т.д. Их надо отбросить. В сомнительных случаях вопрос о том, является ли данный результат промахом, решают с помощью повторного, если возможно, более точного эксперимента или привлекая математические методы обработки полученных результатов, изучение которых лежит за рамками излагаемого элементарного анализа оценки погрешностей.

Приборные погрешности определяются двумя факторами:


  1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной базой и принципом действия.

Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим образом:

(x) к.т. = (/100)A,


где - класс точности в %, указанный на панели прибора,

А= Аmax – предел измерения для стрелочных приборов, либо А есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности, емкости;


  1. ценой делений шкалы прибора:

(x) ц.д. = h,
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.

Погрешности разброса возникают вследствие различия экспериментальных значений при многократном повторении измерений одной и той же величины. Простейший способ определения (х)р дает метод Корнфельда, который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем из хmax и хmin и находим среднее значение х:

;

2) находим абсолютную погрешность xр =

3) Записываем результат в виде: с , где  - доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины находится на отрезке .


Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал. (Эта формула доказывается в теории ошибок.)

Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала  х. Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод расчета погрешностей Стьюдента [2,3,7]. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько i = 1,...,m значений случайной

величины i. Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные

результаты.

2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины :

i

3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения :



i

4) Задаемся доверительной вероятностью . По таблице коэффициентов

Стьюдента (Приложение 1) определяем по известному значению

числа измерений n и доверительной вероятности  коэффициент

Стьюдента tn.

5) Определяем погрешность среднего значения величины (доверительный интервал)


= tn

6) Записываем результат

= ( ±  ) с указанием доверительной вероятности .
В научных статьях обычно приводят доверительный интервал

= <X>,
соответствующий доверительной вероятности ? =0,7. Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение доверительной погрешности не приводят. Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ). На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности измерительного прибора.

Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне приемлемым.

В теории ошибок показывается, что результирующая погрешность , если все эти погрешности рассчитаны для одной и той же доверительной вероятности. На практике, т.к. суммарная погрешность округляется до одной значащей цифры, достаточно выбрать максимальную из трех вычисленных погрешностей, и если она в 3 или более раз превосходит остальные, принять ее за погрешность измеренной величины, при этом фактор, с которым связана эта погрешность и будет в данном случае определять собой точность (а вернее - погрешность) эксперимента (подробнее см. в работе [1]).



§3. Оценка погрешностей косвенных измерений

Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.

Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х,

Y = f(x).

Величина х имеет погрешность х. Именно эта погрешность х – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).

Приращение х аргумента х определяет собой приращение функции . Погрешность аргумента х косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где х – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно

измеряемых величин , то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi, получим:



Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать

погрешность результата косвенных измерений .

(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)

В реальных измерениях относительная точность различных величин хi может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство , где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины Y определяется погрешностью xm:




Пример.

При измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V=360lN/ есть результат косвенных измерений, где l расстояние между дисками, , N – число оборотов в единицу времени, известное с точностью ,  - угол поворота измеренный в градусах , следовательно, для углов поворота   70о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.


Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину и, если , считать , пренебрегая погрешностями остальных хi im.
Рассмотрим наиболее распространенные случаи взаимосвязи физических величин.


  1. Степенная зависимость , где p, q - любые числа.

В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность .
  1. Прологарифмируем , получим


  2. Продифференцируем это равенство: .

  3. Перейдем от бесконечно малых приращений – дифференциалов к конечным приращениям х1, х2: .

  4. Учтем, что х1 и х2 – величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными. Нашей же целью является выявление максимально возможной погрешности, поэтому нас будет интересовать наихудшая ситуация, которая реализуется при х1> 0, а х2< 0. Вследствие этого при вычислении погрешности ?Y все минусы заменяются на плюсы, и мы имеем: .

Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок [3,4,5] имеет вид: .

  1. Следует заметить, что чем больше по модулю показатель степени, тем большую погрешность вносит данная переменная в погрешность результата. В данном случае следует также сравнить между собой и найти среди них максимальное значение . Если для всех остальных im, то , и абсолютная погрешность .

  1. Логарифмическая зависимость .


, переходя от дифференциалов к конечным приращениям, имеем:

.

В этом случае абсолютная погрешность Y пропорциональна относительной погрешности непосредственно измеряемой величины x. Если x = const, то с ростом х Y будет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей как правило отличаются неравновеликими погрешностями Y).

Пример.

П
ри определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.
Рис 1.

Итак, для логарифмических функций вида Y = A logax проще сразу вычислять абсолютную погрешность, которая пропорциональна относительной погрешности переменной x :


§4. Правила построения графиков физических величин
  1. Оформление осей, масштаб, размерность [6]. Результаты измерений и вычислений удобно представлять в графическом виде. Графики строятся на миллиметровой бумаге; размеры графика не должны быть меньше 150*150 мм (половина страницы лабораторного журнала). На лист прежде всего наносятся координатные оси. Для результатов прямых измерений, как правило, откладываются на оси абсцисс. На концах осей наносятся обозначения физических величин и их единицы измерения. Затем на оси наносятся масштабные деления так, чтобы расстояние между делениями составляли 1, 2, 5 единиц или 1;2;5*10 n, где n – целое число. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по одной или более осям. Начало отсчета по осям и масштаб следует выбирать так, чтобы: 1) кривая (прямая) заняла все поле графика; 2) углы между касательными к кривой и осями должны быть близки к 45є ( или 135є) по возможности в большей части графика.


  2. Графическое представление физических величин. После выбора и нанесения на оси масштабов на лист наносятся значения физических величин. Их обозначают маленькими кружочками, треугольниками, квадратами, причем числовые значения, соответствующие нанесенным точкам, не сносятся на оси. Затем от каждой точки вверх и вниз, вправо и влево откладываются в виде отрезков соответствующие погрешности в масштабе графика.

После нанесения точек строиться график, т.е. проводится предсказанная теорией плавная кривая или прямая так, чтобы она пересекала все области погрешностей или, если это не возможно, суммы отклонений экспериментальных точек снизу и сверху кривой должны быть близки. В правом или в левом верхнем углу (иногда посередине) пишется название той зависимости, которая изображается графиком.

Исключение составляют градуировочные графики, на которых точки, нанесенные без погрешностей, соединяются последовательными отрезками прямых, а точность градуировки указывается в правом верхнем углу, под названием графика. Однако, если в процессе градуировки прибора абсолютная погрешность измерений изменялась, то на градуировочном графике наносятся погрешности каждой измеренной точки. (Такая ситуация реализуется при градуировке шкалы «амплитуда» и «частота» генератора ГСК при помощи осциллографа). Градуировочные графики служат для отыскания промежуточных значений линейных интерполяций.


Графики выполняются карандашом и вклеиваются в лабораторный журнал.
  1. Линейные аппроксимации [1,7]. В экспериментах часто требуется построить график зависимости полученной в работе физической величина Y от полученной физической величины х, аппроксимируя Y(x) линейной функцией , где k, b – постоянные. Графиком такой зависимости является прямая, а угловой коэффициент k, часто сам является основной целью эксперимента. Естественно, что k в этом случае представляет собой также физический параметр, который должен быть определен с присущей данному эксперименту точностью. Одним из методов решения данной задачи является метод парных точек, подробно описанный в [1,6]. Однако следует иметь в виду, что метод парных точек применим при наличии большого числа точек n